[논문 리뷰] Complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds

Bo Guan, Qun Li|ArXiv.org|2009. 06. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 18인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 허미션 다중류에서 복소 몽에-아프레 방정식에 대한 $C^2$ 추정과 존재 정리들을 수립하며, 야우와 오픈의 켈러 결과들을 비켈러 설정으로 확장한다. 일반적인 곡률 조건 하에서 기울기 및 라플라스 추정을 증명하고, 허미션 메트릭 공간에서의 지선 방정식을 해결하여 도널드슨의 지선 볼록성에 대한 비켈러 버전을 확인한다.

ABSTRACT

We study complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds, extending classical existence results of Yau and Aubin in the Kahler case, and those of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck for the Dirichlet problem in $C^n$. As an application we generalize existing results on the Donaldson conjecture on geodesics in the space of Kahler metrics to the Hermitian setting.

연구 동기 및 목표

• 복소 몽에-아프레 방정식의 고전적 존재 정리를 켈러에서 허미션 다중류로 확장한다.
• 경계가 있는 컴acts 허미션 다중류에서 적합한 해에 대한 $C^2$ 사전 추정을 수립한다.
• 하향해법을 사용하여 허미션 다중류에서 복소 몽에-아프레 방정식의 딜리클레 문제를 해결한다.
• 도널드슨의 켈러 메트릭 공간에서의 지선 볼록성에 대한 추측을 허미션 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 비틀림 관련 삼차 항을 제어하기 위해 특수한 국소 좌표계를 사용하여 허미션 다중류에서 복소 몽에-아프레 방정식에 대한 $C^2$ 추정을 유도한다.
• 하향해법을 적용하여 딜리클레 문제의 해 존재성을 증명하며, $\omega_{\upsilon} \geq 0$ 및 $(\omega_{\upsilon})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$ 조건을 만족하는 하향해 $\upsilon$ 가 필요하다.
• 허미션 메트릭 공간에서 지선을 찾는 문제를 $M \times A$에서의 동차 복소 몽에-아프레 방정식을 푸는 것으로 환원한다. 여기서 $A = [0,1] \times \mathbb{S}^1$이다.
• 메트릭 $\omega$ 를 $M \times A$로 올리는 방법을 사용하여 $\tilde{\omega} = \omega + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}|w|^2$ 를 정의함으로써 확장된 방정식을 정의한다.
• 확장된 방정식에 정리 1.5를 적용하여 약한 해 $\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$ 가 존재하고 $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$ 임을 증명한다.
• 큰 $K$ 에 대해 엄밀한 하향해 $\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$ 를 구성하여 $\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}} > 0$ 및 $(\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}})^{n+1} \geq 1$ 이 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 케일러 케이스에서 복소 몽에-아프레 방정식에 대한 고전적 $C^2$ 추정은 비제로 비틀림을 가진 허미션 다중류로 확장될 수 있는가?
• RQ2 하향해 조건 하에서, 심지어 열화된 경우($\psi \geq 0$)에도 허미션 다중류에서 복소 몽에-아프레 방정식의 딜리클레 문제는 해를 갖는가?
• RQ3 도널드슨의 켈러 메트릭 공간에서의 지선 볼록성 추측은 허미션 메트릭으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 허미션 설정에서 $M \times A$ 에서 동차 복소 몽에-아프레 방정식의 해의 정규성 성질은 무엇인가?
• RQ5 지선 방정식의 해가 $C^{1,1}$ 정규성을 갖기 위한 곡률 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 해가 적합한 경우에 대해 $\max_{\bar{M}}|\nabla u| \leq C_1(1 + \max_{\partial M}|\nabla u|)$ 인 기울기 추정이 수립되며, $\inf \psi$ 에 독립적이다. 이는 블록리와 구안의 켈러 결과를 확장한다.
• 라플라스 추정 $\max_{\bar{M}}\Delta u \leq C_2(1 + \max_{\partial M}\Delta u)$ 이 증명되었으며, 상수 $C_1, C_2$ 는 $|u|_{C^0}$, $\psi$, 기하학적 자료(비틀림, 곡률)에 의존하지만 $\inf \psi$ 에는 의존하지 않는다.
• 하향해 $\underline{u} \in C^2(\bar{M})$ 가 존재하고 $\omega_{\underline{u}} \geq 0$ 이며 $(\omega_{\underline{u}})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$ 를 만족할 경우, 딜리클레 문제에 대해 매끄러운 해 $u \in \mathcal{H} \cap C^\infty(\bar{M})$ 가 존재함을 증명한다.
• 지선 방정식에 대해 약한 해 $\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$ 가 존재하고 $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$ 이며, 유일성과 회전 대칭성이 성립한다.
• 만약 $M$ 이 비음이 아닌 이절곡 곡률을 가진다면, 해 $\varphi$ 는 $C^{1,1}(M \times A)$ 에 속하며, 이는 블록리의 결과를 허미션 케이스로 확장한다.
• 지선 방정식의 해는 $\tilde{\omega}_{\varphi}^{n+1} = 0$ 이고 $\varphi(\cdot, w) \in \mathcal{H}$ 를 모든 $w \in A$ 에 대해 만족하며, 도널드슨의 추측의 비켈러 버전을 확인한다.