[논문 리뷰] Complex oscillatory patterns near singular Hopf bifurcation in a two time-scale ecosystem

Susmita Sadhu|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 10.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 55인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 시간 스케일 분리가 있는 두 포식자-한 피식자 생태계에서 복잡한 진동 동역학을 기하학적 특별한 섭동 이론과 분기 분석을 사용하여 조사한다. 비정상 허프 분기점 근처에서 장기적인 혼합모드 진동(MMO)이 발생하며, 이는 소규모 진동이 수백에서 수천 세대에 걸쳐 지속된 후 주기적 궤도로 전이되는 특징이 있다. 이는 내부 경쟁과 포식 효율성 매개변수에 의해 유도된다.

ABSTRACT

We consider an ecological model consisting of two species of predators competing for their common prey with explicit interference competition. With a proper rescaling, the model is portrayed as a singularly perturbed system with one-fast (prey dynamics) and two-slow variables (dynamics of the predators). The model exhibits variety of rich and interesting dynamics, including, but not limited to mixed mode oscillations (MMOs), featuring concatenation of small and large amplitude oscillations, relaxation oscillations and bistability between a semi-trivial equilibrium state and a coexistence oscillatory state. Existence of co-dimenison two bifurcations such as fold-Hopf and generalized Hopf bifurcations make the system further intriguing. More interestingly, in a neighborhood of {\emph{singular Hopf}} bifurcation, long lasting transient dynamics in form of chaotic MMOs or relaxation oscillations are observed as the system approaches the periodic attractor born out of supercritical Hopf bifurcation or a semi-trivial equilibrium state respectively. The transient dynamics could persist for hundreds or thousands of generations before the ecosystem experiences a regime shift. The time series of population cycles with different types of irregular oscillations arising in this model stem from a biological realistic feature, namely, by the variation in the intraspecific competition amongst the predators. To explain these oscillations, we use bifurcation analysis and methods from {\emph{geometric singular perturbation theory}}.

연구 동기 및 목표

• 시간적 간섭 경쟁이 명시적으로 포함된 두 포식자-한 피식자 생태계에서 복잡한 진동 패턴, 특히 혼합모드 진동(MMO)의 발생 원리를 이해하기 위해.
• 빠른 피식자 및 느린 포식자 역학에 의한 시간 스케일 분리가 릴랙세이션 진동, 이중 안정성, 장기 임시 동역학과 같은 бог RouteServiceProvider 동역학을 어떻게 유도하는지 분석하기 위해.
• 내부 경쟁과 포식 효율성이 분기 구조와 임시 동역학을 어떻게 형성하는지 조사하기 위해.
• 접선 안정점의 두 번째 유형(FSN II) 분기점 근처에서 장기적인 혼합모드 진동의 메커니즘을 규명하기 위해.

제안 방법

• 시간 스케일 분리에 기반한 특별한 섭동 시스템을 수립하며, 이는 재스케일링된 로트카-볼테라 경쟁 역학을 기반으로 한 하나의 빠른 변수(피식자)와 두 개의 느린 변수(포식자)를 포함한다.
• 기하학적 특별한 섭동 이론을 적용하여 느린 다각형의 구조를 분석하며, 이는 수용 및 반발 지점과 그의 비틀림 성질을 포함한다.
• 국소 및 글로벌 분기 분석을 수행하여 접선-홉프 및 일반화된 허프 분기와 같은 고차원 분기점을 식별한다.
• 수치적 연속성과 ODE45(MATLAB)를 사용하여 궤적을 시뮬레이션하고, MMO를 탐지하며, 상대 오차 10−11, 절대 오차 10−12의 높은 정밀도를 적용한다.
• 임시 기저 영역과 그의 프랙탈 유사한 구조를 분석하여 초깃값과 환경적 요동에 대한 민감도를 평가한다.
• FSN II 점 근처에서 '들어오는 방식/나가는 방식' 함수를 조사하여 캐노드 유도 진동에서의 지연 효과를 이해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 경쟁과 포식 효율성이 두 포식자-한 피식자 시스템에서 혼합모드 진동의 발생에 어떻게 공동으로 영향을 미치는가?
• RQ2 비정상 허프 분기점 근처에서 관찰된 장기적인 혼합모드 진동의 임시 동역학의 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 느린 다각형의 기하학적 구조와 그의 비틀림 성질이 캐노드 유도 소규모 진동의 형성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 접선-홉프 및 일반화된 허프와 같은 고차원 분기가 복잡한 진동 영역을 어떻게 조직화하는가?
• RQ5 임시 기저 영역이 외부 요동에 대한 생태계의 예측 가능성과 회복력에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비정상 허프 분기점(FSN II 점) 근처에서 소규모 진동(SAO)이 수백에서 수천 세대에 걸쳐 지속되는 혼합모드 진동(MMO)이 관찰된다.
• 시스템은 장기적인 임시 동역학을 보이며, 궁극적으로 초점 안정점에서 유도된 소규모 주기적 궤도로 수렴한다. 이 궤도는 넓은 기저 영역을 가진다.
• 느린 다각형의 구조, 특히 그의 비틀림 성질이 MMO에서 소규모 진동(SAO)의 존재와 지속 시간을 결정하며, 동역학은 포식 효율성(β1, β2)에 매우 민감하다.
• 분기 분석을 통해 접선-홉프 및 일반화된 허프 분기와 같은 고차원 분기점이 복잡한 동역학 전이를 조직화하고 있음을 확인하였다.
• 임시 기저 영역은 복잡하고, 가능성이 프랙탈 유사한 형태를 띠며, 초깃값과 환경 변동에 대한 높은 민감도를 나타낸다.
• 토르스 유사 진동을 통해 경계 평형점이 나타나는 것은 생태계 지속 가능성과 뉴런 시스템과 유사한 번개 동역학과의 잠재적 연관성을 시사한다.