[논문 리뷰] Complexifications of infinite-dimensional manifolds and new constructions of infinite-dimensional Lie groups

Rafael Dahmen, Helge Glöckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정칙이고 거리화 가능한 국소 볼록 공간을 기본으로 하는 무한차원의 실해석다양체에서 컴acts부분집합의 열린 이웃에 대한 복소화의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 바나흐-라이 군 $H$로의 $\mathbb{K}$-해석적 사상의 편미분군에 대해 $C^0$-정규 복소해석적 리군의 구조를 구성하며, 이는 이전의 유용한 미분법 프레임워크에서의 결과를 확장하고, 커런트 군과 루프 군과 같은 새로운 무한차원 리군의 구성이 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let M be a real analytic manifold modeled on a locally convex space and K be a non-empty compact subset of M. We show that if an open neighborhood of K in M admits a complexification which is a regular topological space, then the germ of the latter (as a complex manifold) is uniquely determined. If M is regular and the complexified modeling space of M is normal, then a regular complexification exists for some neighborhood of K. For each (real or complex) analytic regular manifold M modeled on a metrizable locally convex space and Banach-Lie group H, this allows the group Germ(K,H) of germs of H-valued analytic maps around K in M to be turned into an analytic Lie group which is regular in Milnor's sense. A special case is a regular real analytic Lie group structure on the group of real analytic H-valued maps on a compact real analytic manifold M (which, previously, had only been treated in the convenient setting of analysis). Combining our results concerning groups of germs with an idea by Neeb and Wagemann, one can also obtain a regular Lie group structure on the group of all real analytic H-valued mappings on the real line.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 실해석다양체에서 정칙이고 거리화 가능한 국소 볼록 공간을 기본으로 하는, 컴acts부분집합의 열린 이웃에 대한 복소화의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 콤팩트 집합 $K$를 중심으로 하는 $\mathbb{K}$-해석적 $H$-값을 가진 사상의 편미분군에 대해 $C^0$-정규 복소해석적 리군의 구조를 구성한다.
• 편의 미분법 설정을 넘어서 무한차원 리군 이론을 확장하기 위해, $C^\omega(M,H)$와 $C^\omega(\mathbb{R},H)$와 같은 사상군에 대해 $C^0$-정규 구조를 제공한다.
• 정칙성 조건이 만족되는 모델링 공간과 다양체 하에서 고전적인 브루하트–유티니 접합 방법을 무한차원 다양체로 일반화한다.

제안 방법

• 실해석다양체의 국소 해석적 확장을 활용하여, 브루하트–유티니 접합 기법을 무한차원 다양체에 적용한다.
• 다양체와 그 모델 공간이 정칙성과 정규성 조건을 만족할 경우, 콤팩트 집합 $K$를 중심으로 한 복소화의 편미분의 유일성을 증명한다.
• 만약 $M$이 정칙이고 복소화된 모델 공간 $E_{\mathbb{C}}$가 정규일 경우, 콤팩트 집합 $K$의 어떤 열린 이웃 $\Omega$에 대해 정칙 복소화 $\Omega^*$의 존재를 확보한다.
• 해석적 확장을 통해 $H$-값을 가진 사상의 확장을 이용하여, 바나흐-라이 군의 프로젝티브 극한을 통해 리군 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$를 구성한다.
• 편미분군 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h})$의 리대수에서 베커–캠프벨–하우스도르프(BCH) 공식을 사용하여 국소 해석적 곱셈을 정의함으로써 국소 정규성을 확보한다.
• 군론적 확장 결과(제5.6조)를 적용하여, 공액변환의 불변성과 수반 작용의 해석성 조건을 이용해 국소 리군의 구조를 전체 편미분군으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 실해석다양체에서 콤팩트 부분집합의 열린 이웃에 대해 복소화가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 콤팩트 집합을 중심으로 한 복소화의 편미분은 어떻게 결정되며, 어떤 위상적 조건이 필요한가?
• RQ3 콤팩트 다양체에서 $\mathbb{K}$-해석적 $H$-값 사상의 편미분군은 $C^0$-정규 리군의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ4 무한차원 리군 이론은 어떻게 편의 미분법 프레임워크를 넘어서 $C^0$-정규성까지 확장할 수 있는가?
• RQ5 편미분군의 리대수에서 공액변환 작용이 해석적이어야 하는 조건은 무엇이며, 이를 통해 전역 리군의 구조를 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 정칙 실해석다양체 $M$이 거리화 가능한 국소 볼록 공간을 기본으로 하고, 비어 있지 않은 콤팩트 부분집합 $K$가 존재할 경우, $K$의 열린 이웃 $\Omega$가 존재하여 정칙 복소화 $\Omega^*$를 가진다.
• 만약 $M$이 정칙이고 복소화된 모델 공간 $E_{\mathbb{C}}$가 정규일 경우, 콤팩트 집합 $K$를 중심으로 한 복소화의 편미분은 복소해석다양체로서 유일하게 결정된다.
• 콤팩트 집합 $K$에서 $\mathbb{K}$-해석적 $H$-값 사상의 편미분군 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$는 밀너의 의미에서 $C^0$-정규인 $\mathbb{K}$-해석적 리군의 구조를 지닌다.
• 콤팩트 실해석다양체 $M$에서의 실해석적 $H$-값 사상군 $C^\omega(M,H)$는 $C^0$-정규 리군의 구조를 상속받으며, 이는 문헌에서의 빈도를 메우는 결과이다.
• 네브–와게만 아이디어의 변형을 통해 $C^\omega(\mathbb{R},H)$로의 확장이 가능하여, 이 커런트 군에 대해 $C^0$-정규 리군의 구조를 얻는다.
• 지오메트릭 지수 사상 $\Phi: \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h}) \to \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$는 항등원 근처에서 국소 해석적 미분동형사상이며, 이를 통해 BCH 급수와 군 확장 기법을 활용할 수 있다.