[논문 리뷰] Complexity growth rate, grand potential and partition function

Wei Sun, Xian-Hui Ge|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 30.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 68인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 열역학적 관계를 통해 양자 복잡도와 통계역학 사이의 새로운 연결 고리를 제안한다. 특히, CV 2.0 추측($\dot{\mathcal{C}} \sim PV$)과 그랜드 포텐셜 $\Omega = -PV$를 바탕으로 복잡도 증가율을 분할 함수와 연결하여 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$를 유도한다. 이 관계는 SYK 모델과 AdS 블랙홀에서 검증되었으며, 라이오드 경계를 준수하면서도 상전이의 잠재적 질서 매개변수로 복잡도가 기능할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We examine the complexity/volume conjecture and further investigate the possible connections between complexity and partition function. The complexity/volume 2.0 states that the complexity growth rate $\mathcal{\dot{C}}\sim PV$. In the standard statistics, there is a fundamental relation among $PV$, the grand potential $Ω$ and the partition function $\mathcal{Z}$. By using this relation, we are able to construct an ansatz between complexity and partition function. The complexity/partition function relation is then utilized to study the complexity of the thermofield double state of extended SYK models for various conditions. The relation between complexity growth rate and black hole phase transition is also discussed.

연구 동기 및 목표

• 열역학적 항등식을 통해 양자 복잡도와 통계역학 사이의 더 깊은 연결 고리를 수립하기 위해.
• CV 2.0 추측과 그랜드 포텐셜 관계를 사용하여 복잡도 증가율 $\dot{\mathcal{C}}$가 $T \ln \mathcal{Z}$로 표현될 수 있는지 테스트하기 위해.
• 다양한 양자 시스템, 특히 변형된 SYK 모델과 AdS 블랙홀에서 제안된 복잡도-분할 함수 관계의 타당성을 검토하기 위해.
• 양자 복잡도가 블랙홀 상전이의 질서 매개변수로 기능할 수 있는지 조사하기 위해.
• 제안된 관계에 따라 복잡도 증가율의 라이오드 경계가 위반되지 않는지 확인하기 위해.

제안 방법

• CV 2.0 추측 $\dot{\mathcal{C}} \sim PV$와 열역학적 항등식 $\Omega = -PV$를 바탕으로 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$를 유도한다. 여기서 $\Omega$는 그랜드 포텐셜이다.
• canonical 집합에서 복잡도를 분할 함수 $\mathcal{Z}$와 연결하기 위해 관계 $\ln \mathcal{Z} = -\Omega / (kT)$를 적용한다.
• 실수 및 복소 페르미온 버전을 포함한 확장된 SYK 모델에서 열역학적 이중 상태(TFD)의 복잡도를 분석한다. 이는 이중 밴드 모델(‘f’- 및 ‘c’-페르미온 포함)을 포함한다.
• 자기적 AdS 블랙홀과 레이스너-노르트스트롬-AdS 블랙홀의 복잡도 증가율을 유도된 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ 관계를 통해 계산한다. 여기서 $F$는 자유 에너지이다.
• 결과를 라이오드 경계 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$와 비교하고, 다양한 경우에서의 포화 여부를 평가한다.
• 최대 일 원리를 활용하여 $\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$를 기계적 일 $\Delta W = P\Delta V$와 유사하게 해석함으로써, 복잡도를 열역학적 일과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학적 항등식과 CV 2.0 추측을 사용하여 복잡도 증가율을 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$로 표현할 수 있는가?
• RQ2 제안된 복잡도-분할 함수 관계는 이중 밴드 및 복소 페르미온 변형을 포함한 SYK 모델의 다양한 상에서 유지되는가?
• RQ3 AdS 블랙홀의 제안된 프레임워크에서 복잡도 증가율의 라이오드 경계가 위반되는가?
• RQ4 양자 복잡도는 블랙홀 상전이의 질서 매개변수로 기능할 수 있는가?
• RQ5 블랙홀 열역학의 맥락에서 관계 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$는 표준 관계 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 기본 SYK 모델과 그 복소 페르미온 확장에서 관계 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$가 검증되었으며, 이 경우 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$도 성립한다.
• 이중 밴드 SYK 모델에서 ‘f’-페르미온(양자역학적 상호작용이 있는 경우)만이 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$를 만족함을 확인하여, 복잡도 증가율이 상호작용하는 부문에 연결되어 있음을 시사한다.
• SYK ‘웜홀’의 열역학적 이중 상태(TFD)에서 복잡도 증가율은 이전 연구의 정성적 예측과 일치한다.
• 스카워츠실트-AdS 및 레이스너-노르트스트롬-AdS 블랙홀에서 관계 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$가 성립하며, 여기서 $F$는 자유 에너지이다.
• 복잡도 증가율은 일반화된 라이오드 경계 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$를 만족하지만 포화되지 않으며, 스카워츠실트-AdS 블랙홀의 경우 $\dot{\mathcal{C}} = M/2$이다.
• 최대 일 원리에 따라 $\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$가 지지되며, 이는 CV 2.0 하에서 $\dot{\mathcal{C}} \leq -\Delta F$로 간소화되어 열역학적 제약 조건과의 일관성을 확인한다.