[논문 리뷰] Complexity of Bose-Hubbard Model : Quantum Phase Transition

Wung-Hong Huang|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 24.

Quantum Information and Cryptography인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 보스-후버드 모형에서 양자 복잡도를 계산하기 위해 연산자 기반의 섭동 방법을 적용하며, 상호작용 강도가 임계값 $ g_c = 1 $에 도달할 때 복잡도가 발산함을 보여주어 양자 상전이를 시사한다. 이 방법은 이전에 $ \lambda\phi^4 $ 이론에 사용된 방법을 일반화하여 2사이트, N사이트 및 고차원 시스템에서 기본 상태와 자극 상태에 대한 정확한 급수 전개를 도출한다.

ABSTRACT

The operator approach is applied to investigate the complexity of Bose-Hubbard model. We present a systematic method to expand the quantum complexity in series of coupling constant. We first study 2-sites system. For the ground state we can find the exact value of complexity which is the summation of all order. The complexity is divergent at critical value of coupling constant that indicates the quantum phase transition at this point. We then generalize the method to the N-sites closed chain and any dimensional system. The found properties are similar to those in 2-sites system. We also study the excited state and present the general formulas of Bose-Hubbard model complexity, which shows a similar form as that in $λϕ^4$ theory studied in our previous paper.

연구 동기 및 목표

• 초냉각 보스온이 광학 격자에서 존재하는 모형으로서 보스-후버드 모형에 양자 복잡도의 연산자 접근법을 확장하는 것.
• 강한 상관관계를 가진 다체계에서 양자 복잡도가 양자 상전이를 감지할 수 있는가를 조사하는 것.
• $ \lambda\phi^4 $ 이론에서의 섭동적 복잡도 계산 방법을 보스-후버드 모형으로 일반화하여 정확한 급수 해를 도출하는 것.
• 1차원 체인과 고차원 격자에서 기본 상태와 자극 상태를 모두 분석하여 임계 행동을 규명하는 것.
• 시스템 크기와 차원에 관계없이 임계점 $ g_c = 1 $ 이 가진 보편성이 있는가를 탐색하는 것.

제안 방법

• 2차 양자화 형식을 사용하여 보스-후버드 해밀토니안을 푸리에 변환을 통해 모드 연산자로 표현한다.
• 결합 상수 $ g $ 에 대한 섭동 전개를 적용하며, 효과적 주파수 $ R^{(n)}_k $ 를 위한 재귀 관계를 사용해 복잡도를 순차적으로 계산한다.
• 복잡도를 푸비니-슈트라 metric 상의 기하학적 거리의 제곱으로 정의하며, $ D^{(n)2}_{\{N_k\}} = \sum_k (N_k + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_k} \right)^2 $ 로 계산한다.
• 양자 회로를 모델링하기 위해 시간 순서 지수적 진화를 사용하며, 비용 함수 $ D[U] = \int_0^1 ds \sum_I |Y^I(s)|^2 $ 를 최소화한다.
• 푸리에 변환을 다중 운동량 모드로 확장하여 N사이트 폐쇄 체인과 N차원 격자로 방법을 일반화한다.
• 특히 $ k=0 $ 에서 $ R \to 0 $ 가 되는 경우, $ R^{(n\to\infty)}_k $ 의 발산을 통해 임계점을 식별하며, 이는 상전이를 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 방법을 통한 양자 복잡도 계산이 보스-후버드 모형에서 양자 상전이를 감지할 수 있는가?
• RQ2 보스-후버드 모형에서 상전이의 임계 결합 상수 $ g_c $ 는 시스템 크기에 영향을 받지 않는가?
• RQ3 자기 상태의 복잡도는 기본 상태의 발산 및 임계 행동과 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ4 보스-후버드 모형의 복잡도 공식은 $ \lambda\phi^4 $ 이론과 구조적으로 유사한가?
• RQ5 N사이트 시스템에서 $ g_k < 1 $ 에서 나타나는 물리적으로 비현실적인 발산은 어떤 역할을 하는가? 이를 배제할 수 있는가?

주요 결과

• 2사이트 보스-후버드 모형에서 복잡도는 $ g_c = 1 $ 에서 발산하며, 이는 정확한 급수 합산을 통해 확인된 바와 같이 양자 상전이를 시사한다.
• N사이트 폐쇄 체인에서도 복잡도는 $ g_c = 1 $ 에서 발산하며, 임계점은 시스템 크기에 영향을 받지 않는다.
• $ R^{(n)}_k $ 를 위한 재귀 관계는 기본 상태에서 복잡도에 대한 정확한 표현을 도출하여 무한 차수까지 수렴 가능하게 한다.
• 고차원에서는 복잡도 공식이 $ \left(D^{(n)}_{\{N_i\}}\right)^2 = \sum_{\vec{k}} (N_{\vec{k}} + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_{\vec{k}}} \right)^2 $ 로 일반화되며, $ \lambda\phi^4 $ 이론과 동일한 구조를 유지한다.
• N > 2 인 경우 $ g_k < 1 $ 에서 $ R^{(n)}_k $ 의 분모에 있는 영으로 인해 물리적으로 비현실적인 발산이 나타나지만, 이는 실제 상전이와 관련이 없다.
• 이 방법은 평균장 유사 행동을 드러내며, $ g_c = 1 $ 이 시스템 크기에 관계없이 보편적이므로 전이의 간단한 효과적 기술을 시사한다.