[논문 리뷰] Complexity of comparison of influence of players in simple games

Haris Aziz|ArXiv.org|2008. 09. 02.

Game Theory and Applications참고 문헌 23인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 승리 연합, 최소 승리 연합, 가중 투표 게임(WVG), 다중 가중 투표 게임(MWVG) 등 다양한 표현 방식에서 단순 게임의 플레이어 영향력 비교의 계산 복잡도를 분석한다. Banzhaf 및 Shapley-Shubik 지수를 계산하는 것은 최소 승리 연합 표현 방식일지라도 #P-완전함을 입증하며, MWVG에서 선형성 검증은 NP-난해함을 보이며, 이는 압축된 게임 표현으로부터 권력 측정치를 효율적으로 추출하는 데 있어 근본적인 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

Coalitional voting games appear in different forms in multi-agent systems, social choice and threshold logic. In this paper, the complexity of comparison of influence between players in coalitional voting games is characterized. The possible representations of simple games considered are simple games represented by winning coalitions, minimal winning coalitions, weighted voting game or a multiple weighted voting game. The influence of players is gauged from the viewpoint of basic player types, desirability relations and classical power indices such as Shapley-Shubik index, Banzhaf index, Holler index, Deegan-Packel index and Chow parameters. Among other results, it is shown that for a simple game represented by minimal winning coalitions, although it is easy to verify whether a player has zero or one voting power, computing the Banzhaf value of the player is #P-complete. Moreover, it is proved that multiple weighted voting games are the only representations for which it is NP-hard to verify whether the game is linear or not. For a simple game with a set W^m of minimal winning coalitions and n players, a O(n.|W^m|+(n^2)log(n)) algorithm is presented which returns `no' if the game is non-linear and returns the strict desirability ordering otherwise. The complexity of transforming simple games into compact representations is also examined.

연구 동기 및 목표

• 다양한 표현 방식에서 단순 게임의 플레이어 영향력 비교의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• Banzhaf, Shapley-Shubik, Holler, Deegan-Packel, Chow 매개변수와 같은 핵심 권력 지수를 계산하는 데 있어서의 이행 가능성(tractability)을 조사하는 것.
• 도우미, 독재자, 거부권을 가진 플레이어를 식별하거나 게임의 선형성 또는 선호도 순서를 검증하는 등의 기본 연산의 복잡도를 규명하는 것.
• 단순 게임을 더 압축된 표현 방식(예: WVG 또는 MWVG)으로 변환하는 데 드는 계산 비용과 권력 지수 계산에 대한 영향을 검토하는 것.

제안 방법

• Banzhaf 값 계산의 난이도를 입증하기 위해 알려진 #P-완전 문제들(예: 정점 커버 수세기, 부분합 문제)으로의 감소 기법을 사용.
• 게임이 선형일 경우, 최소 승리 연합(Wm) 표현 방식으로 표현된 게임에서 도우미, 독재자, 거부권 플레이어를 다항 시간 내에 식별하는 알고리즘.
• 게임이 선형인지 여부를 판단하고, 선형일 경우 엄밀한 선호도 순서를 반환하는 O(n.|Wm| + n²log(n)) 알고리즘 설계.
• 구조적 게임 특성과 그 계산적 영향을 분석하기 위해 쌍대성과 스왑-안정성 성질의 활용.
• 게임 표현 간 변환(예: Wm에서 W로)을 통한 권력 지수 계산의 계산 오버헤드 평가.
• 선호도 관계(≻D, ∼D, 비비교 가능)의 형식적 정의 및 계산 복잡도 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게임이 최소 승리 연합으로 표현될 경우, 플레이어의 Banzhaf 값 계산은 #P-완전한가?
• RQ2 다중 가중 투표 게임이 선형임을 검증하는 데 드는 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 최소 승리 연합 표현으로부터 엄밀한 선호도 순서를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 다양한 게임 표현 방식에서 권력 지수(예: Shapley-Shubik, Banzhaf) 계산의 복잡도는 어떻게 달라지는가?
• RQ5 WVG 또는 MWVG와 같은 압축 표현으로 단순 게임을 변환하는 데 드는 계산 비용은 얼마인가?

주요 결과

• 최소 승리 연합으로 표현된 단순 게임에서 플레이어의 Banzhaf 값 계산은 #P-완전하다.
• 다중 가중 투표 게임이 선형임을 검증하는 것은 NP-난해하며, 이는 유일하게 이 문제가 NP-난해한 표현 방식이다.
• O(n.|Wm| + n²log(n)) 알고리즘이 존재하며, 게임이 비선형일 경우 '아니요'를 반환하거나, 선형일 경우 엄밀한 선호도 순서를 계산한다.
• 최소 승리 연합 표현으로 표현된 게임에서 Banzhaf 지수 계산 문제는 NP-난해하며, 동일한 표현 방식에서 Shapley-Shubik 지수 계산 문제 역시 NP-난해하다.
• 가중 투표 게임(WVG)에서는 승리 연합 총 수와 Chow 매개변수를 계산하는 것은 #P-완전하다.
• 최소 승리 연합 표현으로 표현된 게임에서 Holler 및 Deegan-Packel 지수 계산의 복잡도는 선형일지라도 NP-난해하다.