[논문 리뷰] Complexity of full counting statistics of free quantum particles in entangled states.

Д. А. Иванов, Leonid Gurvits|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 12.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 얽힌 상태에 있는 자유 양자 입자에 대한 전수 통계의 계산 복잡도를 조사하며, 다중 입자 곱 상태에서 단일 입자 연산자의 기대값에 초점을 맞춘다. 일부 기대값이 행렬 행렬식을 계산하는 것만큼 계산적으로 어려운 반면, 최종 단일 입자 상태의 수가 유한한 경우에 한하여 전수 통계 생성 함수는 효율적으로 계산 가능해진다는 것을 보여준다. 이는 일반적인 페르미온 곱 상태와 단일 보손 상태에 대해 입증되었으며, 양자 컴퓨팅 자원 이론에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

We study the computational complexity of quantum-mechanical expectation values of single-particle operators in bosonic and fermionic multi-particle product states. Such expectation values appear, in particular, in full-counting-statistics problems. Depending on the initial multi-particle product state, the expectation values may be either easy to compute (the required number of operations scales polynomially with the particle number) or hard to compute (at least as hard as a permanent of a matrix). However, if we only consider full counting statistics in a finite number of final single-particle states, then the full-counting-statistics generating function becomes easy to compute in all the analyzed cases. We prove the latter statement for the general case of the fermionic product state and for the single-boson product state (the same as used in the boson-sampling proposal). This result may be relevant for using multi-particle product states as a resource for quantum computing.

연구 동기 및 목표

• 다중 입자 곱 상태에서 단일 입자 연산자의 양자역학적 기대값의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 자유 페르미온 및 자유 보손 시스템에서 얽힘이 존재할 경우 전수 통계 문제의 타당성 유지 여부를 판단하는 것.
• 개별 기대값의 복잡성이 높은 상황에서도 전수 통계 생성 함수가 효율적으로 계산 가능한 조건을 특정하는 것.
• 이러한 결과가 다중 입자 곱 상태를 양자 컴퓨팅 자원으로 사용하는 데 미치는 함의를 평가하는 것.

제안 방법

• 이중 양자화 형식을 사용하여 보손 및 페르미온 다중 입자 곱 상태에서 단일 입자 연산자의 기대값을 분석한다.
• 행렬의 행렬식을 복잡도 기준으로 삼으며, 기대값 계산의 어려움을 행렬식 계산과 비교한다.
• 전수 통계 생성 함수의 경우, 최종 상태 공간을 유한한 수의 단일 입자 상태로 제한하여 타당성 여부를 평가한다.
• 논문은 이 유한 상태 제약 조건 하에서 일반적인 페르미온 곱 상태와 단일 보손 곱 상태 모두에서 생성 함수가 효율적으로 계산 가능하다는 것을 증명한다.
• 증명 기법은 페르미온의 슬래터 행렬식 성질과 보손의 경우 행렬식 성질을 활용한 조합 항등식에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 개별 기대값이 어려운 반에도 불구하고 전수 통계 생성 함수가 효율적으로 계산 가능해지는가?
• RQ2 다중 입자 곱 상태에서 기대값의 계산 복잡도는 페르미온 시스템과 보손 시스템 간에 어떻게 다를까?
• RQ3 최종 단일 입자 상태의 수가 유한한 경우로 제한될 때 전수 통계 문제는 단순화될 수 있는가?
• RQ4 자유 페르미온 및 자유 보손 시스템에서 행렬식 계산의 복잡도와 전수 통계의 복잡도 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 다중 입자 곱 상태에서 단일 입자 연산자의 기대값은 초기 상태에 따라 다항 시간 내에 계산 가능하거나, 행렬식 계산만큼 계산적으로 어려울 수 있다.
• 페르미온 곱 상태의 경우, 최종 상태 공간이 유한한 수의 단일 입자 상태로 제한될 경우 전수 통계 생성 함수는 효율적으로 계산 가능해진다.
• 단일 보손 곱 상태의 경우, 동일한 유한 상태 제약 조건이 적용되면 생성 함수 역시 효율적으로 계산 가능하며, 이는 보손 샘플링 모델과 일치한다.
• 개별 기대값의 계산 복잡성이 유한 상태 제약 조건 하에서는 전수 통계 생성 함수로까지 확장되지 않는다.
• 이러한 결과들은 개별 행렬 원소 계산이 어려운 경우에도 다중 입자 곱 상태가 양자 컴퓨팅 자원으로 유용하게 사용될 수 있음을 시사한다.