[논문 리뷰] Complexity of Non-Monotonic Logics

Michael E. Thomas, Heribert Vollmer|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 10.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 포스트의 부울 함수 라티스를 통해 부정적 논리(기본 논리, 자동지식 논리, 순환화)의 복잡도를 체계적으로 분석하며, 문장 조건부에서의 추론 작업(만족 가능성, 함의, 추론)과 부울 함수 클론에 의해 정의된 문장 조건부의 수세기 문제를 분류한다. 주요 기여는 추론과 설명 수세기 문제의 계산 복잡도를 완전히 분류한 것으로, 복잡도는 [B]에 따라 P에서 NP-완전, Σ₂^p-완전까지 다양하게 변동하며, 특정 가용 클론으로 제한할 경우 이분법이 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

Over the past few decades, non-monotonic reasoning has developed to be one of the most important topics in computational logic and artificial intelligence. Different ways to introduce non-monotonic aspects to classical logic have been considered, e.g., extension with default rules, extension with modal belief operators, or modification of the semantics. In this survey we consider a logical formalism from each of the above possibilities, namely Reiter's default logic, Moore's autoepistemic logic and McCarthy's circumscription. Additionally, we consider abduction, where one is not interested in inferences from a given knowledge base but in computing possible explanations for an observation with respect to a given knowledge base. Complexity results for different reasoning tasks for propositional variants of these logics have been studied already in the nineties. In recent years, however, a renewed interest in complexity issues can be observed. One current focal approach is to consider parameterized problems and identify reasonable parameters that allow for FPT algorithms. In another approach, the emphasis lies on identifying fragments, i.e., restriction of the logical language, that allow more efficient algorithms for the most important reasoning tasks. In this survey we focus on this second aspect. We describe complexity results for fragments of logical languages obtained by either restricting the allowed set of operators (e.g., forbidding negations one might consider only monotone formulae) or by considering only formulae in conjunctive normal form but with generalized clause types. The algorithmic problems we consider are suitable variants of satisfiability and implication in each of the logics, but also counting problems, where one is not only interested in the existence of certain objects (e.g., models of a formula) but asks for their number.

연구 동기 및 목표

• 비단조화 논리(예: 기본 논리, 자동지식 논리, 순환화)의 추론 작업의 계산 복잡도를 체계적으로 분류하는 것.
• 포스트의 부울 함수 라티스를 통한 논리 언어의 제약이 만족 가능성, 함의, 추론 등의 핵심 문제의 복잡도에 어떻게 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 사용 가능한 부울 함수의 클론을 매개변수로 삼아 문장 추론에서의 설명 존재성 및 수세기 문제의 복잡도를 완전히 분류하는 것.
• 특히 애니드라 및 이중-혼합형 조건부에 대한 수세기 복잡도의 열린 문제를 해결하고, 관찰 표현 방식(절, 항, 공식)이 복잡도 변화에 미치는 영향을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 연구는 부울 함수의 유한 집합(클론)을 분류하기 위해 포스트의 라티스를 활용하며, [·]의 폐쇄 연산을 통해 표현력과 복잡도 계층을 정의한다.
• 기본 논리, 자동지식 논리, 순환화의 문장 조건부 변형에서 추론 문제(만족 가능성, 함의, 추론)를 클론 기반 프레임워크를 사용해 분석한다.
• 추론 문제의 경우, 관찰의 세 가지 표현 방식(절, 항, B-공식)을 고려하고, 각각이 복잡도에 미치는 영향을 평가한다.
• 수세기 문제의 분석은 감산 감소를 통해 이루어지며, 총 설명과 선호 관계 하에 부분집합 최소 설명을 구분한다.
• 복잡도 클래스(P, NP, Σ₂^p, #P, #·coNP)의 기존 결과를 활용하고, 완전성 결과를 증명하기 위해 감소를 사용한다.
• 클론의 구조적 성질(예: 단조성, 쌍대성, 애니드라성)을 활용하여 복잡도의 이분법 및 삼분법를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지식 기반과 관찰이 주어진 유한 집합 B의 함수만을 사용해 표현될 때, 문장 추론에서 설명 존재 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 관찰이 절, 항, 또는 B-공식으로 표현될 경우, 추론 문제의 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 클론 [B]에 따라, 추론에서의 모든 설명과 부분집합 최소 설명의 수세기 복잡도는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 어떤 조건에서 설명 수세기의 복잡도가 #·coNP에서 #P 또는 심지어 FP로 내려가는가?
• RQ5 지식 기반을 애니드라 관계로 제한할 경우, 설명 수세기의 복잡도에 이분법이 존재하는가?

주요 결과

• 만약 [B]가 S₀₂, S₁₂, 또는 D₁를 포함한다면 설명 존재 문제는 Σ₂^p-완전이다; [B]가 M에 속하고 S₀₀ 또는 S₁₀를 포함한다면 NP-완전이다; [B]가 E, V, 또는 L에 속한다면 P에 속한다.
• 관찰을 항으로 완화하면 복잡도가 증가한다: [B ∪ {0,1}] = V일 경우 문제는 Σ₂^p-완전에서 NP-완전으로 변화한다.
• 관찰이 B-공식으로 표현될 경우 분류는 이분법이 된다: [B]가 E, V, 또는 L보다 위에 있으면 Σ₂^p-완전; 그렇지 않으면 다항식 시간 내에서 해결 가능하다.
• 설명 수세기 문제는 [B]가 S₀₂, S₁₂, 또는 D₁를 포함하면 #·coNP-완전이다; [B] ⊆ M이면서 S₀₀, S₁₀, 또는 D₂를 포함하면 #P-완전이다; 그 외의 경우 FP에 속한다.
• 양성 리터럴 설명의 경우, [B] ⊆ V₂이면 문제는 FP에 속한다; [B] ⊆ L₂이면 오직 #P에 속한다는 것이 알려져 있다.
• 애니드라 관계의 경우 열린 문제로 남아 있으며, [B] ⊆ 애니드라일 때 설명 수세기의 복잡도는 아직 알려져 있지 않다. 다만, 이는 FP에 속할 것으로 추측된다.