[논문 리뷰] Complexity of the Fourier transform on the Johnson graph

Rodrigo Iglesias, Mauro Natale|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 20.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Johnson 그래프 $J(n,k)$ 위에서 푸리에 변환을 계산하기 위한 FFT 스타일 알고리즘을 제시한다. 변화 기저 행렬의 인수분해를 통해 $n-1$개의 희박한 정규직교 행렬로 구성되며, 각 열에 최대 두 개의 비영원소를 가진다. 이 방법은 연산 복잡도를 $\binom{n}{k}^2$에서 $O(n\binom{n}{k})$로 감소시켜, $k$가 $\sqrt{n}$보다 우세할 경우 이전의 경계보다 크게 향상시키며, 동형성 사영과 스펙트럼 성분의 효율적 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The set $X$ of $k$-subsets of an $n$-set has a natural graph structure where two $k$-subsets are connected if and only if the size of their intersection is $k-1$. This is known as the Johnson graph. The symmetric group $S_n$ acts on the space of complex functions on $X$ and this space has a multiplicity-free decomposition as sum of irreducible representations of $S_n$, so it has a well-defined Gelfand-Tsetlin basis up to scalars. The Fourier transform on the Johnson graph is defined as the change of basis matrix from the delta function basis to the Gelfand-Tsetlin basis. The direct application of this matrix to a generic vector requires $\binom{n}{k}^2$ arithmetic operations. We show that --in analogy with the classical Fast Fourier Transform on the discrete circle-- this matrix can be factorized as a product of $n-1$ orthogonal matrices, each one with at most two nonzero elements in each column. This factorization shows that the number of arithmetic operations required to apply this matrix to a generic vector is bounded above by $2(n-1) \binom{n}{k}$. As a consequence, we show that the problem of computing all the weights of the irreducible components of a given function can be solved in $O(n \binom{n}{k})$ operations, improving the previous bound $O(k^2 \binom{n}{k})$ when $k$ asymptotically dominates $\sqrt{n}$ in a non-uniform model of computation. The same improvement is achieved for the problem of computing the isotypic projection onto a single component. The proof is based on the construction of $n-1$ intermediate bases, each one parametrized by certain pairs composed by a standard Young tableau and a word. The parametrization of each basis is obtained via the Robinson-Schensted insertion algorithm.

연구 동기 및 목표

• Johnson 그래프 $J(n,k)$에서 비아벨 푸리에 변환을 효율적으로 계산하기 위한 알고리즘을 개발하는 것. 이는 순위 데이터의 스펙트럼 분석과 부호 이론에서 나타나는 문제에서 유래된다.
• 특히 $k$가 $\sqrt{n}$보다 빠르게 증가할 경우, $X = \binom{[n]}{k}$ 위의 함수의 동형성 사영과 스펙트럼 성분을 계산하는 대수적 복잡도를 감소시키는 것.
• 기존에 $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$와 같은 아벨 군에 대해 개발된 FFT 패러다임을, 조합 구조인 Johnson 그래프와 같은 비아벨 군 작용으로 일반화하는 것.
• 표준 Young 표와 이진 단어로 매개화된 중간 정규직교 기저를 구성하여, 푸리에 변환 행렬의 계층적이고 희박한 인수분해를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 표고가 2 이하인 표준 Young 표와 $\{1,2\}$에서 이루어진 단어로 매개화된 $n-1$개의 중간 정규직교 기저 $B_1, \dots, B_{n-1}$의 순서를 정의한다.
• 각 기저 전환 행렬 $[B_{i-1}]_{B_i}$는 각 열에 최대 두 개의 비영원소를 가지도록 구성되어 있어, 단계별 계산 비용을 낮춘다.
• 이 구성은 Robinson-Schensted 삽입 알고리즘에 기반하며, 기저 레이블링의 각 수평선은 이진 단어의 문자들을 삽입함으로써 생성된 표의 순서에 해당한다.
• 전체 푸리에 변환은 이러한 희박한 행렬 $n-1$개의 곱으로 표현되며, 벡터에 적용하는 데 $O(n\binom{n}{k})$의 연산으로 수행할 수 있다.
• 역변환은 동일한 인수분해를 통해 유사하게 계산되어, 정방향 및 역방향 변환 모두 효율적으로 계산할 수 있다.
• 이 방법은 Gelfand-Tsetlin 기저로 변환한 후, 원하는 동형성 부분공간에 속하지 않는 성분을 제거하고 다시 변환함으로써 동형성 사영의 효율적 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Johnson 그래프에서의 비아벨 푸리에 변환은 차원 $\binom{n}{k}$에 대해 이차 시간 이하로 계산될 수 있는가? 이는 순환군에서의 고전적 FFT와 유사한가?
• RQ2 집합 $\binom{[n]}{k}$ 위에서 대칭군 작용의 어떤 구조적 성질이 Gelfand-Tsetlin 기저로의 기저 전환 행렬의 계층적이고 희박한 인수분해를 가능하게 하는가?
• RQ3 Robinson-Schensted 삽입 알고리즘은 $O(n\binom{n}{k})$ 복잡도를 갖는 빠른 변환을 지원하는 중간 기저를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 이소형성 성분 또는 그 노름을 계산하는 데 $O(n\binom{n}{k})$의 복잡도 경계가 기존 방법보다 우월한가? 특히 $k \gg \sqrt{n}$일 경우에 대해.
• RQ5 $n$과 $\binom{n}{k}$에 대해 다항식 시간 내에 $n-1$개의 희박한 전이 행렬 $[B_{i-1}]_{B_i}$를 사전 계산할 수 있는 효율적 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• Johnson 그래프에서의 푸리에 변환은 $O(n\binom{n}{k})$의 산술 연산으로 계산될 수 있으며, 이는 난이도가 $\binom{n}{k}^2$인 기존 방법에 비해 크게 향상된 것이다.
• 변환은 각 열에 최대 두 개의 비영원소를 가진 $n-1$개의 정규직교 행렬의 곱으로 인수분해되며, 이는 벡터에 효율적으로 적용할 수 있도록 한다.
• 전이 행렬을 사전 계산한 후, 단일 기약 표현 성분으로의 동형성 사영은 $O(n\binom{n}{k})$의 연산으로 계산될 수 있다.
• 모든 제곱 무게 $\|f_a\|^2$의 동형성 성분은 최대 $(2n-1)\binom{n}{k}$의 연산으로 계산될 수 있다.
• 비균일 계산 모델에서 $k$가 $\sqrt{n}$을 점점 초월할 경우, 이소형성 성분을 계산하는 데 이전의 $O(k^2\binom{n}{k})$ 경계를 초월하는 것으로 개선된다.
• 저자들은 전이 행렬 $[B_{i-1}]_{B_i}$가 어떤 상수 $c$에 대해 $O(n^c \binom{n}{k})$ 시간 내에 사전 계산될 수 있을 것이라 추측하지만, 그러한 알고리즘은 제공되지 않았다.