[논문 리뷰] Complexity of the Guided Local Hamiltonian Problem: Improved Parameters and Extension to Excited States

Chris Cade, Marten Folkertsma외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지도된 국소 해밀토니안 저에너지(Glhle) 문제가 2-지상 해밀토니안에 대해 지도 상태가 목표 고유상태와 허용 오차 내에서 유사도가 1 − Ω(1/poly(n))일 때조차도 BQP-완전함을 증명한다. 이는 지도 상태의 정밀도가 매우 높아졌음에도 불구하고, 지도 상태의 고유상태가 아니라 흥분 상태 에너지를 추정하는 경우에도 해당된다. 이 결과는 이전 연구를 확장하여 국소성, 유사도, 목표 상태에 대한 제약 조건을 완화함으로써, 지도 상태가 목표 상태와 거의 구분되지 않을 정도로 유사해져도 양자 우월성이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

Estimating the ground state energy of a local Hamiltonian is a central problem in quantum chemistry. In order to further investigate its complexity and the potential of quantum algorithms for quantum chemistry, Gharibian and Le Gall (STOC 2022) recently introduced the guided local Hamiltonian problem (GLH), which is a variant of the local Hamiltonian problem where an approximation of a ground state (which is called a guiding state) is given as an additional input. Gharibian and Le Gall showed quantum advantage (more precisely, BQP-completeness) for GLH with 6-local Hamiltonians when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1/2 with a ground state. In this paper, we optimally improve both the locality and the fidelity parameter: we show that the BQP-completeness persists even with 2-local Hamiltonians, and even when the guiding state has fidelity (inverse-polynomially) close to 1 with a ground state. Moreover, we show that the BQP-completeness also holds for 2-local physically motivated Hamiltonians on a 2D square lattice or a 2D triangular lattice. Beyond the hardness of estimating the ground state energy, we also show BQP-hardness persists when considering estimating energies of excited states of these Hamiltonians instead. Those make further steps towards establishing practical quantum advantage in quantum chemistry.

연구 동기 및 목표

• 지난 연구에서 지도된 국소 해밀토니안 문제를 고유상태 뿐 아니라 흥분 상태로 일반화하는 것.
• 문제가 여전히 BQP-완전함이 되는 파rameter 영역을 개선하여, 특히 해밀토니안의 국소성 요구 조건을 감소시키는 것.
• 높은 유사도 지도 상태(최대 1 − Ω(1/poly(n)))가 문제를 고전적으로 다룰 수 있게 하지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 지난 연구에서 지구 상태 뿐 아니라 흥분 상태 에너지를 추정하는 문제 역시 동일한 개선 조건 하에서 여전히 BQP-완전함을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 지도된 국소 해밀토니안 문제를 지구 상태뿐 아니라 임의의 고유상태로 일반화한 GLHLE 문제를 제안한다.
• 양자 계산을 국소 해밀토니안에 인코딩하기 위해 Feynman-Kitaev 회로-해밀토니안 구축법을 사용하여 하드니스 결과를 도출한다.
• 분석은 지도 상태와 목표 고유상태 사이의 유사도 한계에 기반하며, 지도 상태는 반고전적 상태로 간주된다.
• BQP에 포함됨을 증명하기 위해, 확률 증폭과 양자 에너지 추정 알고리즘을 활용하며, 지도 상태와 목표 상태 간의 겹침(유사도)을 이용한다.
• 오차 감소 기법을 적용하여 성공 확률을 증폭시키며, 흥분 상태의 경우 majority voting에 대해 Chernoff 한계를 적용한다.
• 하드니스 결과는 문제를 고전적으로 해결할 수 있다면 BQP가 BPP로 붕괴할 것임을 보여줌으로써 유도된다. 이는 표준 복잡도 가정과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안이 6-지상이 아니라 2-지상일 경우 지도된 국소 해밀토니안 문제도 여전히 BQP-완전한가?
• RQ2 지도 상태가 목표 고유상태와 유사도 1 − Ω(1/poly(n))을 가지는 경우, 문제는 여전히 BQP-완전한가? (이전 연구는 1/2 − Ω(1/poly(n))까지만 고려했다.)
• RQ3 지구 상태가 아니라 흥분 상태( c ≥ 1)의 에너지를 추정할 때 문제는 여전히 BQP-완전한가?
• RQ4 지도 상태가 여러 고유상태와 겹치는 정도가 양자 하드니스를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 해밀토니안이 2-지상일 경우, 지도 상태가 목표 고유상태와 유사도 ζ = 1 − Ω(1/poly(n))을 가지면 GLHLE 문제는 BQP-완전하다.
• 흥분 상태( c ≥ 1)의 경우, 지도 상태가 목표 고유상태와 유사도 ζ = 1/2 + Ω(1/poly(n))을 가지면 문제는 여전히 BQP-완전하다.
• 지구 상태 에너지 추정의 경우, 해밀토니안이 O(log n)-지상이고 유사도가 ζ = Ω(1/poly(n))이면 문제는 BQP에 속한다.
• 흥분 상태 에너지 추정의 경우, 해밀토니안이 O(log n)-지상이고 유사도가 ζ = 1/2 + Ω(1/poly(n)), 정밀도 δ = 1/O(poly(n))이면 문제는 BQP에 속한다.
• 지도 상태가 목표 상태와 거의 완벽한 유사도를 가질 때조차도 BQP-완전성은 유지되며, 이는 지도 상태가 Ω(poly(n))개 이상의 다른 고유상태와 비중미래가 없는 것으로 보장된다는 것을 의미한다.
• 이 결과는 이 문제에서의 양자 우월성이 역다항식 정밀도 때문만이 아니라, 지도 상태의 다수 고유상태와의 복잡한 겹침 구조 때문임을 시사한다.