[논문 리뷰] Complexity of weakly null sequences

Dale E. Alspach, Spiros A. Argyros|arXiv (Cornell University)|1992. 02. 28.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 17인용 수 159

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간, 특히 $C(K)$ 공간에서 약하게 영인 수열의 복잡도를 측정하기 위해 새로운 순서수 인덱스인 진동 인덱스를 도입한다. 저자들은 슈레어 유형의 구성법을 반복 적용하여 $ω_1$까지 임의로 큰 진동 인덱스를 가진 특성 함수의 약하게 영인 수열을 생성하고, 이를 바탕으로 높은 인덱스를 가진 티르셀슨 유사 반사적 공간을 구축하며, 이 인덱스가 바이어-1 함수의 라브레니티프 인덱스와 관련이 있음을 규명하고, 약하게 영인 수열을 평균화하는 결과를 정교화한다.

ABSTRACT

We introduce an ordinal index which measures the complexity of a weakly null sequence, and show that a construction due to J. Schreier can be iterated to produce for each alpha < omega_1, a weakly null sequence (x^{alpha}_n)_n in C(omega^{omega^{alpha}})) with complexity alpha. As in the Schreier example each of these is a sequence of indicator functions which is a suppression-1 unconditional basic sequence. These sequences are used to construct Tsirelson-like spaces of large index. We also show that this new ordinal index is related to the Lavrentiev index of a Baire-1 function and use the index to sharpen some results of Alspach and Odell on averaging weakly null sequences.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서 약하게 영인 수열의 복잡도를 측정하는 새로운 순서수 인덱스인 진동 인덱스를 정의하고 분석한다.
• 슈레어의 구성법을 일반화하여, 각 $α < ω_1$에 대해 $C(\omega^{\omega^\alpha})$에서 진동 인덱스가 $\alpha$인 약하게 영인 수열의 특성 함수를 생성한다.
• 진동 인덱스를 부르간의 $ε^1$-인덱스와 바이어-1 함수의 라브레니티프 인덱스와 같은 기존의 순서수 인덱스들과 연관시킨다.
• 이 인덱스를 활용하여 높은 진동 인덱스를 가진 반사적 티르셀슨 유사 공간을 구축하고, 약하게 영인 수열을 평균화하는 결과를 정교화한다.
• 진동 인덱스, 전파 모델 인덱스, 평균 인덱스 간의 관계를 명확히 하여, 일반적으로 진동 인덱스가 나머지 두 인덱스보다 작다는 것을 보인다.

제안 방법

• 약하게 영인 수열에서 노름 수렴의 실패를 추적하는 집합 $S^\alpha(\epsilon, (x_n), K)$의 순서수 반복을 통해 진동 인덱스를 정의한다.
• 순서수 $\omega^{\omega^\alpha}$ 위에서 트리 기반의 구성법을 사용하여 교차 성질이 제어된 특성 함수의 약하게 영인 수열을 생성한다.
• 가산 순서수에 대한 귀납적 추론을 통해 진동 인덱스와 전파 모델 인덱스 간의 동치성을 확립한다.
• 진동 인덱스가 수열의 점별 극한의 라브레니티프 인덱스에 의해 상한으로 제한됨을 보이며, 수열의 복잡도와 함수 클래스 간의 직접적 연관성을 규명한다.
• 오델의 방법을 적용하여, 구성된 수열을 무조건 기본 수열로 사용하여 높은 진동 인덱스를 가진 반사적 티르셀슨 유사 공간을 구축한다.
• 평균 인덱스가 $ε^1$-인덱스를 초과할 수 있음을 보이기 위해, $ε^1$을 확실히 포함하지 않는 공간을 구성함으로써, 평균 인덱스가 $ω_1$인 수열이 존재함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 영인 수열의 진동 행동을 기반으로 하여, 그 복잡도를 측정하는 새로운 순서수 인덱스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 슈레어 유형의 구성법을 반복 적용하여, $C(K)$ 공간에서 임의로 큰 진동 인덱스를 가진 약하게 영인 수열을 생성할 수 있는가?
• RQ3 진동 인덱스는 부르간의 $ε^1$-인덱스와 바이어-1 함수의 라브레니티프 인덱스와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 진동 인덱스는 약하게 영인 수열에서 노름 영인 볼록 블록 부분수열의 존재를 어느 정도 제어하는가?
• RQ5 높은 진동 인덱스를 가진 수열을 사용하여, 티르셀슨 공간과 유사한 큰 인덱스를 가진 반사적 바나흐 공간을 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 가산 순서수 $\alpha < \omega_1$에 대해, $C(\omega^{\omega^\alpha})$에서 진동 인덱스가 정확히 $\alpha$인 약하게 영인 수열 $\left(x_n^\alpha\right)$가 존재한다.
• 진동 인덱스는 항상 수열의 점별 극한의 라브레니티프 인덱스보다 작거나 같으며, 이는 수열의 복잡도와 함수 유형 간의 직접적 연관성을 규명한다.
• 진동 인덱스는 $ε^1$-인덱스보다 엄밀히 작으며, 특히 어떤 수열의 진동 인덱스가 $ω$일 수 있고, 그 $ε^1$-인덱스는 $ω_1$일 수 있음을 보여준다.
• 모든 약하게 영인 수열에 대해, 부분수열에서 전파 모델 인덱스와 평균 인덱스가 일치함을 보이며, 알스파치와 오델의 성질-$A(k)$에 관한 결과를 강화한다.
• 평균 인덱스가 $ω_1$이지만 $ε^1$을 포함하지 않는 반사적 티르셀슨 유사 공간을 구성할 수 있으며, 이는 평균 인덱스가 $ε^1$-인덱스에 의해 제한되지 않음을 보여준다.
• 진동 인덱스는 부분수열로의 전이에 대해 강한 의미에서 불변이다: 임의의 약하게 영인 수열에 대해, 추가적인 부분수열 선택에 관계없이 진동 인덱스가 유지되는 부분수열이 존재한다.