[논문 리뷰] Composability of global phase invariant distance and its application to approximation error management

Priyanka Mukhopadhyay|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 61인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 회로 근사에서 전역 위상 불변 거리의 복합성(composability)을 확립하며, 이 거리 기반 오차 한계가 연산자 노름 기반 오차 한계보다 더 날카럽다는 것을 입증한다. 이는 Rz 게이트에 균일하게 근사 오차를 분배할 경우 T-카운트가 최소화되어 약간의 자원 비용으로도 양자 회로(예: 근사 양자 푸리에 변환)에서 더 낮은 자원 비용을 얻을 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Many quantum algorithms can be written as a composition of unitaries, some of which can be exactly synthesized by a universal fault-tolerant gate set, while others can be approximately synthesized. A quantum compiler synthesizes each approximately synthesizable unitary up to some approximation error, such that the error of the overall unitary remains bounded by a certain amount. In this paper we consider the case when the errors are measured in the global phase invariant distance. Apart from deriving a relation between this distance and the Frobenius norm, we show that this distance composes. If a unitary is written as a composition (product and tensor product) of other unitaries, we derive bounds on the error of the overall unitary as a function of the errors of the composed unitaries. Our bound is better than the sum-of-error bound (Bernstein,Vazirani,1997), derived for the operator norm. This indicates that synthesizing a circuit using global phase invariant distance maybe done with less number of resources. Next we consider the following problem. Suppose we are given a decomposition of a unitary. The task is to distribute the errors in each component such that the T-count is optimized. Specifically, we consider those decompositions where $R_z( heta)$ gates are the only approximately synthesizable component. We prove analytically that for both the operator norm and global phase invariant distance, the error should be distributed equally among these components (given some approximations). The optimal number of T-gates obtained by using the global phase invariant distance is less. Furthermore, we show that in case of approximate Quantum Fourier Transform, the error obtained by pruning rotation gates is less when measured in this distance.

연구 동기 및 목표

• 양자 회로 근사에서 전역 위상 불변 거리의 복합성을 확립하기 위해.
• 연산자 노름 기반의 오차 합계에 비해 복합 유니터리에 대해 더 날카운 오차 한계를 유도하기 위해.
• Rz 게이트에 균일하게 근사 오차를 분배하여 T-카운트를 최적화함으로써 양자 회로의 자원 비용을 줄이기 위해.
• 전역 위상 불변 거리 기반 오차 측정이 근사 양자 알고리즘(예: QFT 및 QPE)에서 더 낮은 자원 비용을 초래한다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 전역 위상 불변 거리와 프로베니우스 노름 사이의 관계를 유도하기 위해.
• 전역 위상 불변 거리가 유니터리 곱셈과 텐서곱에 대해 복합됨을 증명하기 위해.
• 요소 오차의 함수로서 총 오차에 대한 분석적 한계를 개발하기 위해.
• 이러한 한계를 Rz 게이트 근사에 적용하여 균일한 오차 분배가 T-카운트를 최소화함을 보여주기 위해.
• 시뮬레이션된 난방과 분석적 근사 방법을 사용하여 오차 분배 전략의 타당성을 검증하기 위해.
• 결과를 근사 QFT와 QPE에 적용하여 전역 위상 불변 거리 기반 측정과 연산자 노름 기반 측정 간 성능을 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 위상 불변 거리가 유니터리 복합(곱셈 및 텐서곱)에 대해 복합되는가?
• RQ2 이 거리 기반으로 복합 유니터리에 대해 연산자 노름 기반의 오차 합계에 비해 더 날카운 오차 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ3 근사 회로에서 T-카운트를 최소화하기 위해 Rz 게이트 간에 균일한 오차 분배가 최적인가?
• RQ4 전역 위상 불변 거리 기반 오차 측정이 근사 QFT와 QPE에서 자원 비용을 줄이는가?
• RQ5 이 거리 기반으로 시간 진화 또는 기타 양자 알고리즘의 게이트 수 측면에서 실용적 이점이 제공되는가?

주요 결과

• 전역 위상 불변 거리는 유니터리 곱셈과 텐서곱에 대해 복합되며, 오차 전파 분석이 가능해진다.
• 전역 위상 불변 거리 기반 총 오차 한계는 연산자 노름 기반의 오차 합계에 비해 더 날카롭다.
• Rz 게이트 근사의 경우, 균일한 오차 분배 전략이 T-카운트를 최소화하며, 이는 더 낮은 자원 비용을 초래한다.
• 근사 QFT에서는 전역 위상 불변 거리 기반 측정에서 연산자 노름 기반 측정보다 더 낮은 알고리즘 오차를 얻기 위해 회전 게이트를 잘라내는 것이 유리하다.
• Rz(α)를 사용하는 QPE의 경우, 전역 위상 불변 거리 기반 오차 측정을 사용할 경우 더 적은 수의 T 게이트가 필요하다.
• 결과적으로 전역 위상 불변 거리 기반 사용은 특히 QFT 및 QPE와 같은 모듈러 알고리즘에서 T-카운트 감소에 기여할 수 있음을 시사한다.