[논문 리뷰] Composition Functionals in Fractional Calculus of Variations

Agnieszka B. Malinowska, Moulay Rchid Sidi Ammi외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 35인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 Jumarie의 수정된 Riemann–Liouville 분수도 도함수를 사용하여 복합 함수성분을 포함하는 분수적 변분 문제에 대한 Euler–Lagrange 및 자연 경계 조건을 유도한다. 분수적 적분의 곱과 몫 함수성분에 대한 최적성 조건을 수립하여, 비국소적이고 분수차수인 시스템으로의 고전적 변분법의 일반화를 이루며, 최적 제어 및 물리학 분야에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We prove Euler-Lagrange and natural boundary necessary optimality conditions for fractional problems of the calculus of variations which are given by a composition of functionals. Our approach uses the recent notions of Riemann-Liouville fractional derivatives and integrals in the sense of Jumarie. As an application, we get optimality conditions for the product and the quotient of fractional variational functionals.

연구 동기 및 목표

• 복합 함수성분을 포함하는 비고전적 분수적 문제로 고전적 변분법을 확장하기 위해.
• 비국소적이고 분수차수의 의존성으로 인해 고전 이론로는 해결할 수 없는 변분 문제를 다루기 위해.
• 그러한 복합 함수성분에 대한 필수 최적성 조건—Euler–Lagrange 방정식 및 자연 경계 조건—을 유도하기 위해.
• 특정 사례인 분수적 변분 함수성분의 곱과 몫에 결과를 적용하기 위해.
• 물리학 및 제어 이론에서 실용적인 분수적 변분 문제를 해결하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 정규화된 적분 표현식을 통한 정의된 Jumarie의 수정된 Riemann–Liouville 분수도 도함수 및 적분을 사용한다.
• 분수적 통합-분할 공식을 적용한다: ∫ₐᵇ u⁽ᵅ⁾(t)v(t)(dt)ᵅ = α![u(t)v(t)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(t)v⁽ᵅ⁾(t)(dt)ᵅ.
• 다양한 차수 αᵢ를 가진 다수의 분수적 적분을 조합한 일반 함수성분 H에 대한 Euler–Lagrange 방정식을 유도한다.
• 경계값이 고정되어 있지 않을 경우, 함수성분의 변분을 통해 자연 경계 조건을 유도한다.
• 일반 결과를 곱 함수성분(Corollary 3.4)과 몫 함수성분(Corollary 3.6)에 적용하여 특정 분수미분방정식을 도출한다.
• α = ½인 두 분수적 적분의 곱을 포함하는 구체적인 예제를 해결하여, 분수미분방정식을 통해 후보 최소화자(최적해)를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 분수적 적분을 조합한 H로 이루어진 함수성분을 포함하는 분수적 변분 문제에 대해 필수 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ2 분수적 설정에서의 Euler–Lagrange 방정식과 자연 경계 조건은 고전적 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 두 분수적 변분 함수성분의 곱에 대한 특별한 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ4 두 분수적 변분 함수성분의 몫에 대한 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반적 프레임워크는 주어진 경계 조건을 가진 실제 분수적 변분 문제를 해결하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 일반 복합 함수성분에 대한 Euler–Lagrange 방정식은 적분함수의 도함수와 함수성분 H의 도함수를 포함하는 분수미분방정식의 연립계로 유도된다.
• 곱 함수성분의 경우 Euler–Lagrange 방정식은 다음과 같다: α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) + α₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0, 경계점이 자유일 경우 자연 경계 조건이 함께 적용된다.
• 몫 함수성분의 경우 Euler–Lagrange 방정식은 다음과 같다: α₁(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) − Qα₂(b−t)ᵅ⁻¹(f_y − f_v⁽ᵅ⁾) = 0, 여기서 Q = ℱ₁[𝑥̃]/ℱ₂[𝑥̃], 해당하는 자연 경계 조건이 함께 적용된다.
• αᵢ → 1로 수렴할 경우, 결과는 [2]에서 유도된 몫 함수성분에 대한 고전적 Euler–Lagrange 방정식과 자연 조건을 복원한다.
• ℒ[x] = (∫₀¹ (x⁽¹ᐟ²⁾(t))²(dt)¹ᐟ²)(∫₀¹ t¹ᐟ² x⁽¹ᐟ²⁾(t)(dt)¹ᐟ²) 인 예제 문제에서 후보 최소화자(최적해)는 (x⁽¹ᐟ²⁾(t))⁽¹ᐟ²⁾ = −Q₁√π/(4Q₂) 를 만족하며, Q₁ 및 Q₂는 해를 통해 계산된다.
• 방정식 (13)의 연립계가 해결되어 Q₁ 및 Q₂가 결정되며, 이는 (t−τ)⁻¹ᐟ² 커널을 포함하는 적분의 형태로 후보 최소화자 x̃(t)의 명시적 표현을 도출한다.