[논문 리뷰] Composition limits and separating examples for some Boolean function complexity measures

Justin Gilmer, Michael Saks외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한한 함수 집합을 구성함으로써 기본 부울 함수 복잡도 측정치 사이의 최적 분리, 즉 인증 복잡도 $C(f)$, 분수 인증 복잡도 $C^*(f)$, 블록 민감도 $bs(f)$ 사이의 분리를 확립한다. 이 경우 $C(f)$ 는 $bs(f)$ 에 대해 제곱적으로 증가하고 $C^*(f)$ 에 대해서도 최고의 알려진 분리도 달성한다. 또한 함수의 복합과 함수의 구조에서 유도된 $2\times2$ 행렬의 스펙트럼 분석을 통해 $bs^*(f)$ 와 $bs(f)$ 사이의 $3/2$-분리가 입증되어 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Block sensitivity ($bs(f)$), certificate complexity ($C(f)$) and fractional certificate complexity ($C^*(f)$) are three fundamental combinatorial measures of complexity of a boolean function $f$. It has long been known that $bs(f) \leq C^{\ast}(f) \leq C(f) =O(bs(f)^2)$. We provide an infinite family of examples for which $C(f)$ grows quadratically in $C^{\ast}(f)$ (and also $bs(f)$) giving optimal separations between these measures. Previously the biggest separation known was $C(f)=C^{\ast}(f)^{\log_{4.5}5}$. We also give a family of examples for which $C^{\ast}(f)=Ω(bs(f)^{3/2})$. These examples are obtained by composing boolean functions in various ways. Here the composition $f \circ g$ of $f$ with $g$ is obtained by substituting for each variable of $f$ a copy of $g$ on disjoint sets of variables. To construct and analyse these examples we systematically investigate the behaviour under function composition of these measures and also the sensitivity measure $s(f)$. The measures $s(f)$, $C(f)$ and $C^{\ast}(f)$ behave nicely under composition: they are submultiplicative (where measure $m$ is submultiplicative if $m(f \circ g) \leq m(f)m(g)$) with equality holding under some fairly general conditions. The measure $bs(f)$ is qualitatively different: it is not submultiplicative. This qualitative difference was not noticed in the previous literature and we correct some errors that appeared in previous papers. We define the composition limit of a measure $m$ at function $f$, $m^{\lim}(f)$ to be the limit as $k$ grows of $m(f^{(k)})^{1/k}$, where $f^{(k)}$ is the iterated composition of $f$ with itself $k$-times. For any function $f$ we show that $bs^{\lim}(f) = (C^*)^{\lim}(f)$ and characterize $s^{\lim}(f), (C^*)^{\lim}(f)$, and $C^{\lim}(f)$ in terms of the largest eigenvalue of a certain set of $2 imes 2$ matrices associated with $f$.

연구 동기 및 목표

• 핵심 부울 함수 복잡도 측정치인 인증 복잡도 $C(f)$, 분수 인증 복잡도 $C^*(f)$, 블록 민감도 $bs(f)$ 사이의 최대 분리에 관한 오랜 동안 남아있던 열린 문제를 해결하기 위해.
• 함수 복합에 의한 블록 민감도의 하위곱 성질에 관한 이전 문헌의 오류를 수정하기 위해.
• 복잡도 측정치 $m$ 에 대해 $m^{\lim}(f)$ 를 정의하고 분석하기 위해, 이는 $\lim_{k\to\infty} m(f^{(k)})^{1/k}$ 으로 정의된다.
• 반복 함수 복합에 따른 민감도, 인증 복잡도, 블록 민감도의 渐近적 행동을 $2\times2$ 행렬의 고유값을 통해 특성화하기 위해.

제안 방법

• 제어된 복잡도 성질을 가진 기본 함수를 사용하여 반복 함수 복합 $f^{(k)} = f \circ f^{(k-1)}$ 를 통한 분리 예제를 구성하기 위해.
• 반복에 따른 복잡도 측정치의 渐近적 성장률을 분석하기 위해 복합 극한 $m^{\lim}(f)$ 를 정의하기 위해.
• 함수 복합에 따른 $s(f)$, $C(f)$, $C^*(f)$, $bs(f)$ 의 행동을 분석하기 위해: $s$, $C$, $C^*$ 는 하위곱 성질를 보이지만 $bs$ 는 그렇지 않음을 보여주기 위해.
• 함수 프로파일과 할당 선택자에서 유도된 특정 $2\times2$ 행렬의 최대 고유값을Bound하는 방식으로 $C^*(f)$ 와 $C(f)$ 의 분석을 축소하기 위해.
• 스펙트럼 이론을 사용하여 $s^{\lim}(f)$, $(C^*)^{\lim}(f)$, $C^{\lim}(f)$ 를 관련 행렬의 최대 고유값으로 특성화하기 위해.
• 이 방법을 적용하여 $bs(f_n) = O(n)$ 이고 $bs^*(f_n) = \Omega(n^{3/2})$ 인 명시적 함수 $f_n$ 을 구성함으로써 $\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$ 를 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인증 복잡도 $C(f)$ 와 블록 민감도 $bs(f)$ 사이의 최대 가능한 분리는 무엇인가요?
• RQ2 함수 복합을 통해 $C(f)$, $C^*(f)$, $bs(f)$ 사이의 최적 분리를 달성할 수 있는가요?
• RQ3 왜 블록 민감도는 함수 복합에 대해 하위곱 성질을 가지지 않으며, 이는 이전 결과에 어떤 영향을 미치는가요?
• RQ4 반복 복합에 따른 복잡도 측정치의 渐近적 행동은 어떻게 특성화할 수 있는가요?
• RQ5 비판적 지수 $\mathrm{crit}(bs^*, bs)$ 에 대한 가장 날카운 하한은 무엇인가요?

주요 결과

• 논문은 $C(f) = \Theta(bs(f)^2)$ 를 만족하는 무한한 부울 함수의 집합을 구성하여, 인증 복잡도와 블록 민감도 사이의 최적 제곱 분리를 달성한다.
• 무한히 많은 $n$ 에 대해 $C^*(f) = \Omega(bs(f)^{3/2})$ 를 증명하여 $\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$ 를 확립하며, 이는 최고의 값이다.
• 복합 극한 $m^{\lim}(f)$ 는 $f$ 와 관련된 $2\times2$ 행렬의 최대 고유값과 같음을 보여주며, 이는 渐近적 복잡도 성장의 스펙트럼 특성화를 제공한다.
• 블록 민감도는 복합에 대해 하위곱 성질이 아니며, 이는 이전에 간과되었던 사실이며, 이는 이전 문헌의 오류를 설명한다.
• 측정치 $s(f)$, $C(f)$, $C^*(f)$ 는 복합에 대해 하위곱 성질을 가지며, 온건한 조건 하에서는 등호가 성립하지만 $bs(f)$ 는 그렇지 않다.
• 명시적 함수 $g_n$ 을 구성하여 $bs_0^*(g_n) = \Omega(\sqrt{n})$ 이고 $bs_0(g_n) \leq 3$ 임을 보였으며, 이는 $f_n = \mathrm{OR}_n \circ g_n$ 을 통해 $3/2$ 분리를 가능하게 한다.