[논문 리뷰] Compositional Game Theory with Mixed Strategies: Probabilistic Open Games Using a Distributive Law

Neil Ghani, Clemens Kupke외 2명|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|2020. 09. 15.

Game Theory and Voting Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 확률 분포 모나드를 사용하여 조합론적 게임 이론을 혼합 전략으로 확장하고, 확률적 개방 게임의 대칭 모나드 범주를 구성한다. 확률적 플레이 함수가 필요하지 않은 쌍대성 Kleisli 승격을 도입하여 혼합 전략을 모델링하고, 결과적으로 프레임워크가 병렬 및 순차적 합성, 함자, 순수 및 확률적 게임 간의 수반 관계를 지원함을 증명한다.

ABSTRACT

We extend the open games framework for compositional game theory to encompass also mixed strategies, making essential use of the discrete probability distribution monad. We show that the resulting games form a symmetric monoidal category, which can be used to compose probabilistic games in parallel and sequentially. We also consider morphisms between games, and show that intuitive constructions give rise to functors and adjunctions between pure and probabilistic open games.

연구 동기 및 목표

• 유한 게임에서 나시 균형 존재를 보장하기 위해 필수적인 혼합 전략을 포함시키기 위해 조합론적 게임 이론을 확장하는 것.
• 순수 개방 게임이 균형을 갖지 못할 수 있는 한계를 보완하기 위해 이산 분포 모나드를 통해 확률적 전략 프로파일을 통합하는 것.
• 순차적 및 병렬 합성을 모두 지원하는 대칭 모나드 구조를 사용한 확률적 게임의 합성 구조를 지원하는 범주론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 게임 이론적 구조를 유지하는 게임 간의 사상으로서 함자와 순수 및 확률적 게임 범주 간의 수반 관계를 지원하는 것.
• 분포 모나드 이외의 모나드를 사용하여 관련 균형 및 기타 영향을 미치는 게임 이론적 현상 모델링을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 혼합 전략을 모델링하기 위해 $\mathsf{Set}$ 위의 이산 확률 분포 모나드 $\mathcal{D}$ 를 사용하며, $\mathcal{D}(X)$ 는 집합 $X$ 위의 유한 지지 확률 분포의 집합을 나타낸다.
• 비확률적 매개변수를 가진 술어를 확률적 매개변수를 가진 술어로 변환하기 위해 관계 기반 Kleisli 승격을 도입하여, 확률적 전략 프로파일에 대한 비트리비알 처리를 가능하게 한다.
• 전략 집합은 표준이지만, 플레이 함수와 유용도 함수가 모나드 구조를 통해 분포를 처리하도록 승격된 방식으로 확률적 개방 게임을 튜플 $(\Sigma_{\mathcal{G}}, P_{\mathcal{G}}, C_{\mathcal{G}}, E_{\mathcal{G}})$ 으로 정의한다.
• 기대 유용도 계산을 지원하기 위해 결과 집합 $R$ 과 $S$ 에 $\mathcal{D}$-대체 구조를 부여하여 확률적 추론와의 호환성을 확보한다.
• 이중 강도(의사결정)를 사용하여 확률적 게임을 분포 공간 위의 순수 게임으로 매핑하는 결정화 함자 $\Delta^\prime$ 를 구성한다.
• 순수 게임에서 확률적 게임으로의 완전 충실한 임bedding $\Theta$ 를 정의하고, 그것이 오른쪽 수반 함자 $\Psi$ 를 가짐을 증명하여 두 범주 간의 범주론적 수반 관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조합론적 게임 이론이 순수 게임의 범주론적 구조를 유지하면서 혼합 전략을 포함시키는 방법은 무엇인가?
• RQ2 확률적 플레이 함수가 필요하지 않은 혼합 전략을 모델링하기 위한 올바른 범주론적 승격 기법은 무엇인가?
• RQ3 결과적으로 확률적 개방 게임의 프레임워크가 병렬 및 순차적 합성에 대해 닫혀 있는 대칭 모나드 범주가 될 수 있는가?
• RQ4 순수 및 확률적 게임 간의 함자와 수반 관계는 어떻게 유도되며, 그 게임 이론적 의미는 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 관련 균형이나 포기 게임과 같은 다른 영향을 미치는 게임 이론적 현상을 일반화하여 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 확률적 개방 게임의 범주 $\mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}}$ 는 병렬 및 순차적 합성에 대해 대칭 모나드 범주를 이룬다.
• 관계 기반 Kleisli 승격은 순수 전략에 대한 술어를 확률 분포에 대한 술어로 변환함으로써 혼합 전략에 대한 비트리비알 처리를 가능하게 한다.
• 결정화 함자 $\Delta^\prime$ 는 확률적 게임을 분포 공간 위의 순수 게임으로 매핑하며, $\Sigma_{\Delta^\prime(\mathcal{G})} = \mathcal{D}(\Sigma_{\mathcal{G}})$ 를 만족한다. 이는 $\Delta^\prime: \mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}} \to \mathsf{Game}_{\mathsf{Pure}}^\prime$ 으로 확장된다.
• 임bedding 함자 $\Theta: \mathsf{Game}_{\mathsf{Pure}}^\prime \to \mathsf{Game}_{\mathsf{Prob}}$ 는 오른쪽 수반 함자 $\Psi$ 를 가지며, 순수 및 확률적 게임 간의 범주론적 이중성을 확립한다.
• 프레임워크는 매칭 펜니와 마켓 진입 게임과 같은 핵심 게임 이론 예제를 혼합 전략 균형을 사용하여 성공적으로 모델링한다.
• 결과가 $\mathcal{D}$ 의 특정 성질에 의존하지 않기 때문에, 포기 게임에 대한 예외 모나드와 같은 다른 모나드에도 적용 가능함을 시사한다.