[논문 리뷰] Compound Wishart Matrices and Noisy Covariance Matrices: Risk Underestimation

Beno it Collins, David McDonald외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 24.

Random Matrices and Applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한한 표본에서 공분산 행렬 추정의 노이즈로 인해 최적의 포트폴리오 최적화에서 위험을 과소평가하는 문제를 보정하기 위한 스케일링 기법을 제안한다. 랜덤 행렬 이론과 복합 월리스트 행렬의 성질을 활용하여, 독립적이고 상관관계가 있는 수익률 모두에 대해 유효한 점근적으로 비편향 추정량을 유도한다. 시뮬레이션과 실제 시장 데이터에서 위험 예측 성능이 크게 향상됨을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain a property of the expectation of the inverse of compound Wishart matrices which results from their orthogonal invariance. Using this property as well as results from random matrix theory (RMT), we derive the asymptotic effect of the noise induced by estimating the covariance matrix on computing the risk of the optimal portfolio. This in turn enables us to get an asymptotically unbiased estimator of the risk of the optimal portfolio not only for the case of independent observations but also in the case of correlated observations. This improvement provides a new approach to estimate the risk of a portfolio based on covariance matrices estimated from exponentially weighted moving averages of stock returns.

연구 동기 및 목표

• 유한한 표본에서의 공분산 행렬 추정 노이즈로 인한 마크owitz 포트폴리오 최적화에서의 지속적인 위험 과소평가 문제를 해결한다.
• 기존의 독립적인 수익률에 국한된 위험 보정 방법을 상관관계가 있는 수익률 과정으로 확장한다.
• 일반적인 공분산 행렬 추정량(예: 최대우도추정법 및 지수평균이동 평균 포함)을 기반으로 한 최적의 포트폴리오 위험에 대한 일반적이고 점근적으로 비편향 추정량을 개발한다.
• 고차원 포트폴리오 설정에서 위험 예측 정확도를 향상시키기 위한 확장 가능하고 데이터 기반의 방법을 제공한다.
• 모의 및 실제 금융 데이터를 사용하여 제안된 스케일링 기법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 직교 불변성과 윈거텐 미분법을 활용하여 복합 월리스트 행렬의 역행렬의 모멘트를 유도한다.
• 랜덤 행렬 이론(RMT)을 적용하여 유한 표본에서의 공분산 추정으로 인한 포트폴리오 위험 추정의 점근적 편향을 정량화한다.
• 추정된 공분산 행렬의 역행렬에서 기인하는 점근적 노이즈 영향을 제거함으로써 기대 위험 추정량을 보정하는 스케일링 인자를 도출한다.
• 스케일링 기법을 최대우도추정법(MLE) 및 지수평균이동 평균(EWMA) 공분산 행렬에 모두 적용한다.
• 30개 주식에 대해 제한된 관측 창을 가진 몬테카를로 시뮬레이션과 실제 세계 데이터를 통해 방법을 검증한다.
• 마크owitz 위험 공식에서 추정된 공분산 행렬의 역행렬을 사용하고, 유도된 스케일링 인자를 적용하여 비편향 위험 추정량을 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유고차원 설정에서 유한 표본으로 공분산 행렬을 추정할 경우, 최적 포트폴리오의 위험은 어떻게 편향되는가?
• RQ2 랜덤 행렬 이론과 복합 월리스트 행렬의 성질을 활용하여 포트폴리오 위험 추정의 점근적 편향을 보정할 수 있는가?
• RQ3 제안된 스케일링 기법은 독립적이고 상관관계가 있는 자산 수익률 모두에 대해 위험 예측 정확도를 향상시키는가?
• RQ4 관측 수가 제한된 실제 금융 데이터(예: n=30주식에 대해 T=50)에 적용했을 때 스케일링 방법은 얼마나 효과적인가?
• RQ5 기존의 공분산 행렬의 저랭크 노이즈를 제거하는 필터링 기법보다 위험 추정 오차를 줄이는 데 더 뛰어난가?

주요 결과

• 실제 데이터에서 n=30, T=50일 때, 스케일링 이전의 예측 위험 대 진짜 위험의 평균 비율은 0.631에서 스케일링 이후 0.998로 감소한다.
• λ=0.98인 EWMA 공분산 행렬에 대해 스케일링 이후 예측 위험 대 진짜 위험의 평균 비율은 0.64에서 1.008로 향상되어 거의 비편향 추정임을 시사한다.
• 이 방법은 i.i.d. 수익률 뿐 아니라 상관관계가 있는 수익률 과정에 대해서도 포트폴리오 위험 추정의 점근적 비편향성을 달성한다.
• 스케일링 기법은 위험 비율의 표준편차를 크게 감소시켜 n과 T가 증가함에 따라 추정 안정성이 향상됨을 보여준다.
• 기존의 공분산 행렬의 저랭크 노이즈를 제거하는 전통적인 필터링 기법보다 스케일링 기법이 위험 추정 오차를 더 효과적으로 줄인다.
• 최대우도추정법(MLE) 및 EWMA를 포함한 다양한 공분산 추정량에 대해 보정이 효과적이며, 리스크 관리 분야에서 넓은 적용 가능성을 보여준다.