[논문 리뷰] Compressed Blind De-convolution

Venkatesh Saligrama, Manqi Zhao|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 01.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 알려지지 않은 안정적인 자기회귀(AR) 시스템에 의해 필터링된 희박 신호에 대한 압축된 블라인드 디컨volution을 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 컨volution의 교환 법칙을 활용하고 토플리츠 측정 행렬을 사용함으로써, 미약한 안정성 및 희박성 조건 하에서 O(k log n) 개의 무작위 측정치를 통해 ℓ₁-최소화를 이용해 희박한 입력과 알려지지 않은 필터를 신뢰성 있게 복원할 수 있다.

ABSTRACT

Suppose the signal x is realized by driving a k-sparse signal u through an arbitrary unknown stable discrete-linear time invariant system H. These types of processes arise naturally in Reflection Seismology. In this paper we are interested in several problems: (a) Blind-Deconvolution: Can we recover both the filter $H$ and the sparse signal $u$ from noisy measurements? (b) Compressive Sensing: Is x compressible in the conventional sense of compressed sensing? Namely, can x, u and H be reconstructed from a sparse set of measurements. We develop novel L1 minimization methods to solve both cases and establish sufficient conditions for exact recovery for the case when the unknown system H is auto-regressive (i.e. all pole) of a known order. In the compressed sensing/sampling setting it turns out that both H and x can be reconstructed from O(k log(n)) measurements under certain technical conditions on the support structure of u. Our main idea is to pass x through a linear time invariant system G and collect O(k log(n)) sequential measurements. The filter G is chosen suitably, namely, its associated Toeplitz matrix satisfies the RIP property. We develop a novel LP optimization algorithm and show that both the unknown filter H and the sparse input u can be reliably estimated.

연구 동기 및 목표

• 압축된 노이즈 있는 측정치로부터 희박한 입력 신호와 알려지지 않은 안정적인 선형 시간 불변(LTI) 필터를 복원하는 데 도전하는 것.
• 변환 행렬이 또는thonormal이 아니며 알려지지 않은 경우, 특히 희박한 과정이 필터링된 경우에 대해 압축 감지 이론을 확장하는 것.
• 희박한 입력과 알려지지 않은 필터를 함께 추정하는 볼록 최적화 알고리즘을 개발하고 이론적 성능 보장을 제공하는 것.
• 실제 신호 모델 하에서 안정적이고 정확한 복원을 위해 필요한 최소 측정치 수를 규명하는 것.
• ℓ₁-최소화 접근법이 희박한 신호 및 필터 파rameter를 정확하거나 거의 정확하게 복원할 수 있는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 알려지지 않은 안정적인 AR 필터의 알려진 차수를 갖는 k-희박한 입력과의 컨볼루션으로 관측된 신호를 모델링한다.
• 랜덤 가우시안 또는 버니ولي 토플리츠 측정 행렬을 사용하여 필터링된 신호를 압축하고, 컨볼루션의 교환 법칙을 통해 구조를 유지한다.
• 압축된 신호의 차이가 희박하다는 사실을 활용하여 문제를 표준 압축 감지 프레임워크로 변환한다.
• 선형 측정 제약 조건 하에서 희박한 입력의 ℓ₁-노름을 최소화하는 볼록 최적화 문제를 제안함으로써 강건한 복원을 가능하게 한다.
• 유한 차수의 AR 시스템의 암시 필터 성질을 활용하여 미지 매개변수의 수를 줄이고 식별 가능성을 향상시킨다.
• 적절한 가정 하에서 토플리츠 행렬에 대한 제한된 조화성 성질(RIP)과 농도 부등식을 사용하여 이론적 복원 보장을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 안정적인 AR 필터에 의해 오염된 희박한 신호는 소수의 무작위 선형 측정치로부터 복원될 수 있는가?
• RQ2 희박한 입력과 알려지지 않은 필터의 안정적이고 정확한 복원을 위해 필요한 최소 측정치 수는 얼마인가?
• RQ3 구조적 토플리츠 측정 행렬이 ℓ₁-최소화가 성공하기 위해 필요한 제한된 조화성 성질을 유지하는가?
• RQ4 다양한 측정 행렬 집합(Gaussian 대비 버니ولي)과 다양한 필터 차수에서 알고리즘의 성능은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 ℓ₁-최소화 접근법이 희박한 입력과 필터 파rameter를 정확하게 복원할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 ℓ₁-최소화 알고리즘은 필터가 안정적이고 차수가 알려져 있을 경우 O(k log n)의 무작위 측정치로부터 희박한 입력과 알려지지 않은 AR 필터를 성공적으로 복원한다.
• 잘 분리된 피크와 유한한 노이즈 조건 하에서 높은 확률로 정확한 복원을 달성한다.
• 수치 실험 결과, 같은 측정치 크기에서 버니ولي 분포를 가진 토플리츠 측정 행렬이 가우시안 행렬보다 더 높은 경험적 성공률을 보였다.
• 노이즈 수준이 중간 수준일 경우에도 알고리즘은 높은 복원 정확도를 유지하며, m=50, n=200일 때 k=20 이하의 희박성 수준에서 성공률이 90%를 초과한다.
• AR 모델이 안정성 조건을 위반할 경우(예: 일계 차분 모델에서 α=1), 복원 성능이 크게 악화되며, 이는 안정성 가정의 필요성을 확인한다.
• 필터 차수 p가 증가함에 따라 성공률은 감소하지만, m=80, n=200일 때 버니ولي 토플리츠 행렬을 사용하면 p ≤ 15 범위에서 성공률가 80% 이상 유지된다.