[논문 리뷰] Compressed Sensing and Matrix Completion with Constant Proportion of Corruptions

Xiaodong Li|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 06.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 39인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 측정값 또는 요소의 일정 비율이 임의의 악성 오염을 받는 상황에서도 압축 감지 및 행렬 완성에 대해 강건한 복원 보장을 수립한다. 정교한 골핑 기법과 볼록 최적화를 사용하여, 신호 희소성 또는 행렬 질량이 각각 O(m / log²n) 또는 O(m / (n log²n))로 스케일링될 때, 정규 또는 부분정규 감지 행렬과 샘플링 기법을 사용하는 상황에서 심각한 오염이 존재하더라도 정확한 복원이 가능하다고 증명한다.

ABSTRACT

We improve existing results in the field of compressed sensing and matrix completion when sampled data may be grossly corrupted. We introduce three new theorems. 1) In compressed sensing, we show that if the m imes n sensing matrix has independent Gaussian entries, then one can recover a sparse signal x exactly by tractable \ell1 minimimization even if a positive fraction of the measurements are arbitrarily corrupted, provided the number of nonzero entries in x is O(m/(log(n/m) + 1)). 2) In the very general sensing model introduced in "A probabilistic and RIPless theory of compressed sensing" by Candes and Plan, and assuming a positive fraction of corrupted measurements, exact recovery still holds if the signal now has O(m/(log^2 n)) nonzero entries. 3) Finally, we prove that one can recover an n imes n low-rank matrix from m corrupted sampled entries by tractable optimization provided the rank is on the order of O(m/(n log^2 n)); again, this holds when there is a positive fraction of corrupted samples.

연구 동기 및 목표

• 측정값 또는 요소의 일정 비율이 임의로 오염된 상황에서 희소 신호 또는 낮은 질량 행렬을 복원하는 문제를 다루기.
• 기존의 압축 감지 및 행렬 완성 이론을 확장하여, 오염된 위치에 대한 사전 지식 없이도 심각한, 알려지지 않은 오염을 처리할 수 있도록 하기.
• 골핑 기법과 제한된 이소메트릭 성질과 같은 고급 도구를 활용하여 현실적인 오염 모델 하에서 더 날카운 복원 경계를 수립하기.
• 이전 결과를 향상시켜 희소성 및 질량 임계값에서 로그 인자들을 줄여 근사 최적의 스케일링을 달성하기.
• 오염 존재 하에서 ℓ₁-최소화 및 노름 최소화를 사용한 이론적 보장을 제공하기.

제안 방법

• 압축 감지 및 행렬 완성에서 오염된 측정값을 다루기 위해 비균일 크기의 골핑 기법을 활용한 수정된 이중 증명 구조를 제안한다.
• 볼凸 최적화를 사용: 희소 신호 복원을 위한 ℓ₁-최소화와 낮은 질량 행렬 복원을 위한 노름 최소화.
• 희소 또는 낮은 질량 구조의 탄젠트 및 노말 공간 위로의 프로젝션을 포함하는 네 개의 핵심 부등식을 만족하는 이중 행렬 구조를 도입한다.
• 확률적 농도 불등식을 사용하여 랜덤 샘플링과 정규 행렬 하에서 이중 증명 구성 요소의 스펙트럼 및 무한 노름을 제한한다.
• 이전 작업 대비 복원 임계값에서 로그 인자들을 줄이기 위해 골핑 기법의 정교한 분석을 적용한다.
• 라데마처 수열과 랜덤 프로젝션의 尾함수에 대한 경계를 사용하여 이중 증명 구성의 오차 항을 제어함으로써 고확률 복원을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정값의 일정 비율이 임의로 오염된 상황에서, 압축 감지에서 정확한 복원을 보장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 희소성 수준까지 신호를 정확히 복원할 수 있는가? 이는 이러한 오염 모델 하에서 성립한다.
• RQ3 행렬 완성에서 일정 비율의 오염된 요소가 존재하더라도 낮은 질량 복원 보장을 유지할 수 있는가?
• RQ4 오염이 존재할 경우 샘플 수는 질량과 차원에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 정교한 골핑 기법을 사용하여 기존 복원 경계의 로그 인자들을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 정규 감지 행렬을 사용한 압축 감지에서는, m차원의 희소 신호 x에 대해 x의 비영 요소 수가 O(m / (log(n/m) + 1)) 이하일 경우, 측정값의 일정 비율이 임의로 오염되어도 정확한 복원이 가능하다.
• 독립 동일분포의 부분정규 요소를 가진 일반적인 감지 모델에서는, 비영 요소 수가 O(m / log²n) 이하인 신호에 대해 일정 비율의 오염 하에서도 정확한 복원이 성립한다.
• 행렬 완성의 경우, n×n 낮은 질량 행렬은 질량이 O(m / (n log²n)) 이하일 경우, 핵심 노름 최소화를 통해 정확한 복원이 가능하며, 샘플링된 요소의 일정 비율이 오염되어도 성립한다.
• 비균일 샘플링 크기를 사용한 제안된 골핑 기법은 이전 방법 대비 복원 임계값에서 로그 인자들을 줄여 더 날카운 경계를 달성한다.
• 골핑 기법을 통한 이중 증명 구성은 볼凸 최적화 문제의 해가 원래 신호 또는 행렬을 고확률로 정확히 복원함을 보장한다.
• 분석 결과, 이중 증명 구성 요소의 스펙트럼 및 무한 노름이 고확률로 제어됨을 보여, 제시된 희소성 및 질량 조건 하에서 정확한 복원이 가능하다.