[논문 리뷰] Compressed Sensing for Analog Signals

Bernard G. Bodmann, Axel Flinth외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 12.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 39인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 재생 커널 힐버트 공간을 사용하여 아날로그 신호를 위한 압축 측정 프레임워크를 개발하며, 원자 노름을 통해 희박성 정의하고 가산 불가능한 사전에서 희박한 신호의 안정적이고 강건한 복원을 가능하게 한다. 주요 기여는 원자 노름 최소화를 통한 아날로그 신호의 정확한 복원에 대한 이론적 보장을 제공하는 것으로, 노이즈와 기저 불일치 상황에서도 성립하며, 밴드제한 신호와 짧은 시간 푸리에 변환에서 희박한 신호에 적용 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we develop a general theory of compressed sensing for analog signals, in close similarity to prior results for vectors in finite dimensional spaces that are sparse in a given orthonormal basis. The signals are modeled by functions in a reproducing kernel Hilbert space. Sparsity is defined as the minimal number of terms in expansions based on the kernel functions. Minimizing this number is under certain conditions equivalent to minimizing an atomic norm, the pre-dual of the supremum norm for functions in the Hilbert space. The norm minimizer is shown to exist based on a compactness argument. Recovery based on minimizing the atomic norm is robust and stable, so it provides controllable accuracy for recovery when the signal is only approximately sparse and the measurement is corrupted by noise. As applications of the theory, we include results on the recovery of sparse bandlimited functions and functions that have a sparse inverse short-time Fourier transform.

연구 동기 및 목표

• 이산적 압축 측정의 한계를 해결하기 위해 연속적 아날로그 신호를 위한 이론을 개발한다.
• 무한차원 재생 커널 힐버트 공간에서 신호를 모델링하여 전통적인 희박 복원에서 발생하는 기저 불일치 문제를 극복한다.
• 이산화를 피하기 위해 가산 불가능한 무한 사전을 사용한 아날로그 신호의 희박 표현 프레임워크를 구축한다.
• 노이즈에 의해 오염되고 약간의 희박성에 가까운 신호에 대해서도 강건하고 안정적인 복원 보장을 제공한다.
• 고전적 압축 측정을 무한차원 설정으로 확장하면서도 재구성 정확도를 제어 가능하게 유지한다.

제안 방법

• 아날로그 신호를 커널 함수가 표현 체계를 형성하는 재생 커널 힐버트 공간(RKHS)의 함수로 모델링한다.
• 희박성을 신호를 표현하기 위해 필요한 최소한의 커널 함수 수로 정의하며, 이는 원자 노름 최소화와 동치이다.
• 측정값에 대한 선형 제약 조건 하에 원자 노름을 최소화하는 볼록 최적화 문제로 복원을 공식화한다.
• RKHS에서 초월 노름의 전위를 원자 노름으로 사용하여, 컴act성 추론을 통해 최소화자의 존재를 보장한다.
• 소규모 노이즈와 근사 희박성이 존재할 경우 재구성 오차가 작아지는 것으로 증명함으로써 복원의 안정성과 강건성을 확립한다.
• 특정 사례에 적용: 밴드제한 함수와 짧은 시간 푸리에 변환에서 희박한 신호에 대해 적절한 커널 구조를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축 측정을 이산적 유한차원 벡터에서 무한차원 공간의 연속적 아날로그 신호로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표현 사전이 가산 불가능한 무한한 경우에 아날로그 신호의 희박성에 적절한 정의는 무엇인가?
• RQ3 노이즈로 측정되고 약간의 희박성에 가까운 아날로그 신호에 대해 안정적이고 강건한 복원이 가능할 수 있는가?
• RQ4 재생 커널 힐버트 공간에서 원자 노름을 어떻게 정의하고 최소화할 수 있는가? 이를 통해 정확한 복원이 가능해지는가?
• RQ5 연속적 사전에서 희박한 표현을 갖는 아날로그 신호에 대한 이론적 복원 보장 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 원자 노름 최소화 접근법은 신호가 근사 희박하고 측정값이 노이즈에 오염되어도 아날로그 신호의 안정적이고 강건한 복원을 가능하게 한다.
• 재생 커널 힐버트 공간에서 컴팩트성 추론을 통해 원자 노름의 최소화자가 존재함을 보장한다.
• 아날로그 설정에서의 희박성은 신호 표현에 필요한 최소한의 커널 함수 항의 수로 정의되며, 이는 원자 노름 최소화와 동치이다.
• 밴드제한 함수와 짧은 시간 푸리에 변환에서 희박한 신호에 대해 적절한 측정 조건 하에서 이론적으로 정확한 복원이 가능하다.
• 연속 영역에서 직접 작동함으로써 이론은 이산화를 피하고 신호의 아날로그 구조를 유지한다.
• 무한차원 문제의 수치적 해법은 다루지 않았지만, 특수한 경우(예: 푸리에 또는 조각별 선형 측정)에서는 유한차원 축소를 통해 정확한 복원이 가능하다.