[논문 리뷰] Compressed word problems for inverse monoids

Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 06.

semigroups and automata theory참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입력 단어를 직선 프로그램(Straight-Line Programs, SLPs)으로 압축하는 방식을 사용하여 역모노이드(inverse monoids)에서의 압축된 단어 문제를 조사한다. 압축된 단어 문제의 복잡도가 자유 역모노이드의 순위가 2 이상일 경우 Π²ᵖ(다항식 계층의 두 번째 수준)에 대한 완전성임을 증명한다. 반면 특정 유한 아이디포텐트 표현에 대해서는 일반 단어 문제의 경우 로그스페이스에서 해결 가능한 데 비해, 압축된 단어 문제의 복잡도는 PSPACE-완전성이 된다. 또한 자유 역모노이드에서 유리 부분집합 멤버십 문제에 대해 PSPACE 알고리즘을 제시하였으며, 이 문제가 PSPACE-완전함을 입증하였다.

ABSTRACT

The compressed word problem for a finitely generated monoid M asks whether two given compressed words over the generators of M represent the same element of M. For string compression, straight-line programs, i.e., context-free grammars that generate a single string, are used in this paper. It is shown that the compressed word problem for a free inverse monoid of finite rank at least two is complete for Pi^p_2 (second universal level of the polynomial time hierarchy). Moreover, it is shown that there exists a fixed finite idempotent presentation (i.e., a finite set of relations involving idempotents of a free inverse monoid), for which the corresponding quotient monoid has a PSPACE-complete compressed word problem. It was shown previously that the ordinary uncompressed word problem for such a quotient can be solved in logspace. Finally, a PSPACE-algorithm that checks whether a given element of a free inverse monoid belongs to a given rational subset is presented. This problem is also shown to be PSPACE-complete (even for a fixed finitely generated submonoid instead of a variable rational subset).

연구 동기 및 목표

• 압축된 입력 단어를 직선 프로그램(SLPs)으로 표현할 때, 역모노이드에서의 압축된 단어 문제의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 순위 ≥ 2인 자유 역모노이드에 대한 압축된 단어 문제의 정확한 복잡도 클래스를 규명하는 것.
• 유한 아이디포텐트 표현에 의해 정의된 몫모노이드에 대해, 압축된 단어 문제가 여전히 다룰 수 있는 복잡도를 유지하는지 조사하는 것.
• 압축된 입력 조건 하에서 자유 역모노이드에서의 유리 부분집합 멤버십 문제의 복잡도를 규명하는 것.
• 자유 모노이드나 자유 군과의 비교에서, 역모노이드의 알고리즘적 행동이 결정 가능성과 복잡도 측면에서 어떻게 다를지 분석하는 것.

제안 방법

• 자유 역모노이드의 원소를 표현하기 위해 문 나무(Munn trees)를 사용하여, 트리 접합 연산을 통해 효율적인 단어 문제 해결을 가능하게 한다.
• 입력 단어의 압축 표현으로 직선 프로그램(SLPs)을 적용하여 입력 크기를 지수적으로 압축할 수 있도록 한다.
• 자유 역모노이드에서의 압축된 단어 문제에 대한 상계를 구하기 위해, 문의 단어 문제 알고리즘과 자유 군에서의 로그스페이스 결과(Lipton과 Zalcstein의 결과)를 통합한다.
• 하한을 확보하기 위해, SLP 기반 인코딩 기법을 사용하여 압축된 단어 문제로 변형된 서브셋섬(SUBSETSUM) 문제의 변종을 감소시킨다.
• SLP에 의해 생성된 단어를 시뮬레이션하기 위해 다중집합 형태의 실행과 레이블링을 사용하는 트리 오토마타 B를 구성하여, Munn 트리의 트리 언어를 인식하도록 한다.
• 유리 부분집합 멤버십 문제의 PSPACE-완전성을 입증하기 위해, 문제를 트리 오토마타 멤버십 문제로 감소시키고, PSPACE 계산 가능한 구성 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순위가 유한하고 2 이상인 자유 역모노이드에 대해, 압축된 단어 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 유한 아이디포텐트 표현에 의해 정의된 몫모노이드에 대해, 압축된 단어 문제가 일반 단어 문제보다 더 복잡한가?
• RQ3 압축된 입력 조건 하에서, 자유 역모노이드에서의 유리 부분집합 멤버십 문제는 다룰 수 있는가?
• RQ4 자유 모노이드나 군과 비교했을 때, 입력 표현으로 SLP를 사용하는 것이 역모노이드의 알고리즘 문제 복잡도를 크게 증가시키는가?
• RQ5 역모노이드의 압축된 단어 문제는 다항식 시간 내에 해결 가능한가, 아니면 더 높은 복잡도 계층이 필요한가?

주요 결과

• 순위가 2 이상인 자유 역모노이드에 대해, 압축된 단어 문제는 다항식 계층의 두 번째 보편 수준인 Π²ᵖ에 대해 완전하다.
• 일부 고정된 유한 아이디포텐트 표현에 대해, 몫모노이드의 압축된 단어 문제는 PSPACE-완전성이지만, 일반 단어 문제의 경우 로그스페이스에서 해결 가능하다.
• 자유 역모노이드의 주어진 원소가 주어진 유리 부분집합에 속하는지 판별하기 위한 PSPACE 알고리즘을 제시하였다.
• 자유 역모노이드에서의 유리 부분집합 멤버십 문제는 유리 부분집합이 고정되어 있더라도 PSPACE-완전함이 입증되었다.
• 자유 역모노이드의 압축된 단어 문제의 복잡도는 자유 모노이드(P-시간)와 자유 군(P-시간)보다 더 높은 복잡도를 가지며, Π²ᵖ-완전성에 도달함을 보였다.
• Munn 트리 언어를 인식하는 트리 오토마타 B의 구성은 PSPACE 내에서 계산 가능하며, 이는 트리 오토마타 멤버십으로의 감소를 가능하게 한다.