[논문 리뷰] Compressive sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations

Holger Rauhut, Christoph Schwab|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 18.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 51인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 높은 차원의 매개변수적 연산자 방정식의 해에 대한 함수를 효율적으로 근사하기 위해, 텐서화된 체비셰프 다항식에서의 희박한 다항식 혼합 확장(chaos expansion)을 활용하는 압축 감지 페트로프-갈레르킨(CSPG) 방법을 제안한다. 약간의 매개변수 입력 정규성 조건 하에서, 높은 확률로 이 방법은 로그 인자들을 제외한 최적의 $ s $-항 근사와 동일한 $ L_2 $ 및 $ L_∞ $ 수렴 속도를 달성함을 보여준다.

ABSTRACT

We analyze the convergence of compressive sensing based sampling techniques for the efficient evaluation of functionals of solutions for a class of high-dimensional, affine-parametric, linear operator equations which depend on possibly infinitely many parameters. The proposed algorithms are based on so-called "non-intrusive" sampling of the high-dimensional parameter space, reminiscent of Monte-Carlo sampling. In contrast to Monte-Carlo, however, a functional of the parametric solution is then computed via compressive sensing methods from samples of functionals of the solution. A key ingredient in our analysis of independent interest consists in a generalization of recent results on the approximate sparsity of generalized polynomial chaos representations (gpc) of the parametric solution families, in terms of the gpc series with respect to tensorized Chebyshev polynomials. In particular, we establish sufficient conditions on the parametric inputs to the parametric operator equation such that the Chebyshev coefficients of the gpc expansion are contained in certain weighted $\ell_p$-spaces for $0

연구 동기 및 목표

• 고차원 매개변수적 연산자 방정식의 해에 대한 함수 근사를 위한 비침습적, 샘플 기반 방법을 개발하는 것.
• 일반화된 다항식 혼합(gpc) 전개에서의 희박성 특성을 활용하여 불확실성 정량화에서의 차원의 극복(curse of dimensionality)을 해결하는 것.
• 페트로프-갈레르킨 이산화를 사용한 매개변수적 PDE에 대한 압축 감지 적용에 대한 엄밀한 수렴 보장을 제공하는 것.
• 체비셰프 계수들이 $ 0 < p \leq 1 $에 대해 가중 $ \ell_p $-공간에 속할 수 있는 조건을 규명하여 희박한 복구를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 매개변수적 해의 해를 소수의 해 기능 샘플로부터 압축 감지를 통해 재구성하며, 텐서화된 체비셰프 다항식 혼합 전개에서의 희박성을 활용한다.
• 선택된 매개변수 점에서 해 샘플을 계산하기 위해 페트로프-갈레르킨 이산화를 적용하여 샘플 데이터의 안정성과 정확성을 보장한다.
• 이 접근법은 체비셰프 기저에서의 gpc 계수 수열의 근사 희박성에 의존하며, 매개변수 입력 정규성과 계수의 감쇠 조건 하에서 이를 증명한다.
• 필요한 샘플 수가 희박성 수준 $ s $에 대해 거의 최적의 비율로 증가하며, 최적의 $ s $-항 근사와 유사한 수렴 속도를 달성함을 보여준다.
• 최근의 gpc 희박성 결과를 일반화하여, 매개변수 의존성 조건 하에서 체비셰프 계수의 $ \ell_p $-summability을 증명함으로써 $ 0 < p \leq 1 $에 대해 성립함을 보였다.
• 이 방법은 비침습적이고 병렬화 가능하여 동시에 여러 매개변수 샘플에서 평가가 가능하며, 순차적 그레디언트나 적응형 방법과는 달리 이에 비해 유리하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축 감지를 통해 약간의 샘플로 약간의 매개변수적 연산자 방정식의 고차원 매개변수적 해를 엄밀하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 매개변수 입력에 어떤 조건이 성립할 경우, 해의 일반화된 다항식 혼합 전개가 텐서화된 체비셰프 다항식에서 근사적으로 희박해지는가?
• RQ3 압축 감지 페트로프-갈레르킨 방법의 $ L_2 $ 및 $ L_\infty $ 노름에서의 수렴 속도는 최적의 $ s $-항 근사에 비해 어떻게 되는가?
• RQ4 필요한 샘플 수는 희박성 수준 $ s $에 따라 어떻게 증가하는가? 그리고 수렴 속도에 있어 로그 인자는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 무한한 매개변수 수가 존재하더라도, 이 방법은 차원에 영향을 받지 않는 수렴 속도를 달성할 수 있으며, 최적의 $ s $-항 근사와 유사한 성능을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 로그 인자들을 제외한 최적의 $ s $-항 근사와 동일한 $ L_2 $ 및 $ L_\infty $ 수렴 속도를 달성한다.
• 일부 정규성 및 감쇠 조건을 만족하는 매개변수 입력에 대해, gpc 전개의 체비셰프 계수는 $ 0 < p \leq 1 $에 대해 가중 $ \ell_p $-공간에 속하며, 이는 압축 감지 복구를 가능하게 한다.
• 필요한 샘플 수는 $ C_{\alpha,c} s^{\gamma_{\alpha,c} \log s} $로 유계이며, 이는 $ s $에 대해 지수적 증가보다 느리게 증가함을 의미하여, 거의 최적의 샘플링 복잡도를 나타낸다.
• 매개변수 수가 무한하더라도, 매개변수 의존성이 합산 가능 조건을 만족할 경우, 높은 확률로 수렴이 보장된다.
• 기존의 gpc 희박성 결과를 확장하여 $ p \leq 1 $에 대해 $ \ell_p $-summability을 증명함으로써, 압축 감지 성공에 핵심적인 조건을 확립하였다.
• 기본 몬테카를로 방법보다 수렴 속도가 빠르며, 최소한의 해 평가 수로 최적의 $ s $-항 근사 성능에 근접한 성능을 달성한다.