[논문 리뷰] Computability and the growth rate of symplectic homology

Mark McLean|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $ n \geq 8 $ 인 복소 아핀 공간과 디퍼어모르지미스러운 특정 구성된 슈타인 다양체들이 상호로 심플렉틱 동치인지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다. 이는 심플렉틱 호몰로지 성장률을 군론적 결정불가능성 문제와 연결시켜 증명한다. 핵심 결과는 $ \mathbb{R}^{2n} $ 위의 심플렉틱 구조와 $ S^{2n-1} $ 위의 커팅 구조에 대한 결정불가능성 결과이며, 이는 군론의 단어 문제에서 유래한다.

ABSTRACT

For each n greater than 7 we explicitly construct a sequence of Stein manifolds diffeomorphic to complex affine space of dimension n so that there is no algorithm to tell us in general whether a given such Stein manifold is symplectomorphic to the first one or not. We prove a similar undecidability result for contact structures on the 2n - 1 dimensional sphere. We can generalize these results by replacing com- plex affine space with any smooth affine variety of dimension n and the 2n - 1 dimensional sphere with any smooth affine variety intersected with a sufficiently large sphere. We prove these theorems by using an invariant called the growth rate of symplectic homology to reduce these problems to an undecidability result for groups.

연구 동기 및 목표

• 8 이상의 차원을 가진 $ \mathbb{C}^n $ 와 디퍼어모르지미스러운 명시적으로 구성된 슈타인 다양체들 사이의 심플렉틱 구조가 알고리즘적으로 구분될 수 없음을 입증하는 것.
• 심플렉틱 완비화와 레프셰츠 피브레이션을 이용하여 이 결정불가능성을 $ S^{2n-1} $ 위의 커팅 구조로 확장하는 것.
• 심플렉틱 호몰로지 성장률이 계산 가능한 불변량이 되며, 이로써 심플렉틱 분류 문제를 결정불가능한 군론 문제로 환원시킬 수 있음을 보여주는 것.
• 심플렉틱 동치 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하는 것—심플렉틱 위상수학에 단어 문제를 인코딩함으로써, 심플렉틱 동치 여부가 디퍼어모르지미스러운 다양체들 사이에서도 결정될 수 없음을 보여주는 것.
• 8 이상의 차원을 가진 임의의 매끄러운 아핀 다양체에 대해 이 구성 방식을 일반화하고, 그 경계에 존재하는 커팅 구조에 대해서도 동일한 결정불가능성 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 군의 표현을 입력으로 사용하여 표준적인 $ 2n $차원 볼에 위스킨 핸들 부착을 명시적으로 수행함으로써 유한형 슈타인 다양체를 구성하는 것.
• 심플렉틱 호몰로지 성장률을 불변량으로 사용하여 비심플렉틱 동치성을 감지하며, 이는 그 대수적·위상수학적 성질을 활용하는 것.
• 군의 표현을 핸들 부착에 인코딩함으로써 심플렉틱 분류 문제를 군론의 단어 문제의 결정불가능성 문제로 환원하는 것.
• 심플렉틱 호몰로지 성장률을 제어하고 상한을 확립하기 위해 레프셰츠 피브레이션과 부분 레프셰츠 피브레이션을 활용하는 것.
• 심플렉틱 코브라디즘 내의 헬름홀로픽 곡선에 대한 최대 원리(최대원리)를 적용하여 매핑 토러스 내의 비자명한 헬름홀로픽 곡선이 존재하지 않음을 배제하는 것.
• 정확한 심플렉틱 동형사상과 실린더 끝 구조를 활용하여 변형 동안 심플렉틱 호몰로지 불변량을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 명시적으로 구성된 슈타인 다양체가 모두 $ \mathbb{R}^{2n} $ 와 디퍼어모르지미스러운 경우, 이들이 심플렉틱 동치인지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 8 이상의 차원을 가진 슈타인 다양체에서, 그 디퍼어모르지미스러운 유형이 주어졌을 때, 그 심플렉틱 구조는 유형에 의해 결정되는가?
• RQ3 군론의 단어 문제를 핸들 부착을 통해 슈타인 다양체의 심플렉틱 불변량에 인코딩할 수 있는가?
• RQ4 고차원 슈타인 다양체에서 심플렉틱 비동치성을 감지하는 데 심플렉틱 호몰로지 성장률이 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기저 슈타인 필링이 $ \mathbb{R}^{2n} $ 와 디퍼어모르지미스러운 경우, $ S^{2n-1} $ 위의 커팅 구조에 대해 결정불가능성 결과가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 $ n \geq 8 $ 인 군의 표현 $ P $ 에 대해, $ \mathbb{C}^n $ 과 위스킨 핸들을 사용해 명시적으로 구성된 유한형 슈타인 다양체 $ S_P $ 가 존재하며, $ S_P \simeq S_{\langle|\rangle} $ 이다. 이는 $ G_P $ 가 자명군일 때에만 성립한다.
• 심플렉틱 호몰로지 성장률이 $ S_P $ 와 $ S_{\langle|\rangle} $ 를 구분하는 데 사용되며, 이 불변량은 구성 과정에서 계산 가능하다.
• 이러한 $ S_P $ 사이의 심플렉틱 동치 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않는다. 왜냐하면 이를 해결하는 것은 군론의 단어 문제를 해결하는 것과 동치이기 때문이다.
• 동일한 결정불가능성 결과는 동일한 슈타인 다양체의 경계로 구성된 $ S^{2n-1} $ 위의 커팅 구조에도 적용된다.
• 이 구성은 $ \mathbb{C}^n $ 를 초월하여 일반화 가능하다. 임의의 차원 $ n \geq 8 $ 인 매끄러운 아핀 다양체 $ V $ 에 대해서도, $ V $ 를 기반으로 한 슈타인 다양체와 그 경계 커팅 구조에 대해 동일한 결정불가능성 결과가 성립한다.
• 심플렉틱 호몰로지 성장률은 심플렉틱 동형사상 하에서도 유지되며, 핸들 부착을 통해 인코딩된 기본군에 민감하게 반응한다.