[논문 리뷰] Computable Randomness is Inherently Imprecise

Gert de Cooman, Jasper De Bock|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 02.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정확한 확률 대신 간격 예측을 사용하는 계산 가능한 랜덤성에 대해 게임 이론적 프레임워크를 제안하며, 랜덤성이 본질적으로 모호할 수 있음을 보여준다. 모든 무한 이진 수열이 간격 예측의 필터에 대해 계산 가능한 랜덤성을 띤다는 것을 증명하며, 이 필터가 최소 간격을 갖지 않을 수 있음을 보여, 정확한 모델로는 항상 정밀도를 손실 없이 랜덤성을 기술할 수 없음을 시사한다.

ABSTRACT

We use the martingale-theoretic approach of game-theoretic probability to incorporate imprecision into the study of randomness. In particular, we define a notion of computable randomness associated with interval, rather than precise, forecasting systems, and study its properties. The richer mathematical structure that thus arises lets us better understand and place existing results for the precise limit. When we focus on constant interval forecasts, we find that every infinite sequence of zeroes and ones has an associated filter of intervals with respect to which it is computably random. It may happen that none of these intervals is precise, which justifies the title of this paper. We illustrate this by showing that computable randomness associated with non-stationary precise forecasting systems can be captured by a stationary interval forecast, which must then be less precise: a gain in model simplicity is thus paid for by a loss in precision.

연구 동기 및 목표

• 간격 확률을 사용하는 정확하지 않은 예측 체계로 계산 가능한 랜덤성 개념을 확장하기 위해.
• 정확한 확률 예측에 의존하지 않고도 계산 가능한 랜덤성을 정의할 수 있는지 조사하기 위해.
• 예측값이 점값이 아니라 간격일 경우 랜덤성의 수학적 구조를 이해하기 위해.
• 모델의 단순성(정적성)과 정밀도 사이의 상호 교환 관계를 탐색하기 위해.
• 어떤 정확한 정적 예측 모델에서는 계산 가능한 랜덤성이 성립하지 않지만 간격 예측 모델에서는 성립하는 일부 수열이 존재함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 예측을 구매 및 판매 가격의 간격으로 모델링하는 게임 이론적 확률 프레임워크를 사용한다.
• 예측 간격에 대해 기대값이 증가하지 않는 초마팅글의 승수를 정의한다.
• 모든 과정(예측, 승수 등)이 효과적으로 계산 가능하도록 계산 가능성 제약 조건을 적용한다.
• 비정적 및 정적 경우를 포함한 특정 계산 가능한 초마팅글 승수를 구성하여 간격 예측 하에서의 랜덤성 테스트를 수행한다.
• 주어진 수열이 계산 가능한 랜덤성을 띤 간격 예측의 전부를 식별하기 위해 필터링 접근법을 사용한다.
• 모순에 의한 증명을 통해 정확한 예측이 아닌 경우에도 특정 간격 예측이 무작위성 필터에 반드시 포함되어야 한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측이 정확한 확률이 아니라 간격일 경우 계산 가능한 랜덤성이 의미 있게 정의될 수 있는가?
• RQ2 주어진 무한 이진 수열이 항상 어떤 간격 예측 집합에 대해 계산 가능한 랜덤성을 띠는가?
• RQ3 정확한 정적 예측 모델에서는 계산 가능한 랜덤성이 성립하지 않지만 정적 간격 예측 모델에서는 성립하는 수열의 랜덤성을 포괄할 수 있는가?
• RQ4 수열이 계산 가능한 랜덤성을 띠는 간격 예측의 필터가 최소 원소를 갖지 않을 수 있는가?
• RQ5 이러한 필터의 최소 간격이 비어 있지 않은(즉, 단일 점이 아닌) 경우가 존재할 수 있는가? 이는 랜덤성의 본질적 모호성을 시사한다.

주요 결과

• 모든 무한 이진 수열은 그에 대해 계산 가능한 랜덤성을 띠는 간격 예측의 비어 있지 않은 필터를 갖는다.
• 어떤 정확한 정적 예측 체계에서도 계산 가능한 랜덤성이 성립하지 않지만 정적 간격 예측 모델에서는 성립하는 수열이 존재한다.
• 수열이 계산 가능한 랜덤성을 띠는 간격 예측의 필터는 최소 원소를 갖지 않을 수 있으며, 이는 랜덤성이 본질적으로 모호하다는 것을 시사한다.
• 최소 간격이 존재하더라도 비어 있지 않은(즉, 양의 길이를 가진) 경우가 존재할 수 있으며, 이는 랜덤성을 항상 정확하게 기술할 수 없음을 확인한다.
• 비정적 정확한 예측에 대한 계산 가능한 초마팅글 승수는 정적 간격 예측에 대한 계산 가능한 초마팅글 승수로 시뮬레이션될 수 있으며, 이 경우 정밀도가 떨어진다.
• 증명은 수열이 대칭 간격 예측 $[1/2 - \rho, 1/2 + \rho]$ 하에서 계산 가능한 랜덤성이 아닐 경우, 정확한 $1/2$ 예측 하에서의 알려진 계산 가능한 랜덤성과 모순이 발생한다는 것을 보여준다.