[논문 리뷰] Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Orders

R. K. Saxena, A. M. Mathai외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 51인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 반응-확산 방정식에 대해 일반화된 리만-리우빌 시간 도함수와 분수계수 리에즈-펠러 공간 도함수를 포함하는 경우에 대해, 병합 라플라스 및 푸리에 변환을 사용하여 계산 가능한 닫힌 형태의 해를 유도한다. 해는 일반화된 미타그레플레르 함수로 표현되며, 기존 문헌의 결과를 상당히 확장한다.

ABSTRACT

This paper is in continuation of the authors’ recently published paper (Journal of Mathematical Physics 55(2014)083519) in which computational solutions of an unified reactiondiffusion equation of distributed order associated with Caputo derivatives as the timederivative and Riesz-Feller derivative as space derivative is derived. In the present paper, computable solutions of distributed order fractional reaction-diffusion equations associated with generalized Riemann-Liouville derivatives of fractional orders as the time-derivative and Riesz-Feller fractional derivative as the space derivative are investigated. The solutions of the fractional reaction-diffusion equations of fractional orders are obtained in this paper. The method followed in deriving the solutions is that of joint Laplace and Fourier transforms. The solutions obtained are in a closed and computable form in terms of the familiar generalized Mittag-Leffler functions. They provide elegant extensions of the results given in the literature.

연구 동기 및 목표

• 시간에 대한 분수계수 일반화된 리만-리우빌 분수도함수를 포함하는 기존 분수계수 반응-확산 방정식의 해를 확장하기 위해.
• 일반화된 리만-리우빌 시간 도함수와 리에즈-펠러 공간 도함수를 갖는 분포형 분수계수 반응-확산 방정식의 거동을 조사하기 위해.
• 수학적 물리학 분야에서 더 넓은 적용 가능성을 갖기 위해 적분변환 기법을 사용하여 닫힌 형태의 계산 가능한 해를 제공하기 위해.
• 시간 도메인에서 더 일반적인 분수도함수를 통합함으로써 이전의 카프토 도함수 기반 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 리만-리우빌 시간 도함수와 리에즈-펠러 공간 도함수를 갖는 분수계수 반응-확산 방정식을 해결하기 위해 병합 라플라스 및 푸리에 변환 방법을 사용한다.
• 원래 편미분 방정식을 변환 도메인에서 대수방정식으로 변환함으로써 해를 유도한다.
• 일반화된 미타그레플레르 함수를 포함하는 알려진 적분 표현을 사용하여 역변환을 평가한다.
• 유도된 해는 수치적 평가와 이론적 분석에 적합한 닫힘 형태와 계산 가능한 형태로 표현된다.
• 변환의 성질을 통해 문제의 초기 조건과 경계 조건과의 일致성을 보장한다.
• 시간 도함수의 분수계수를 통합함으로써 분포형 방정식의 처리가 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 리만-리우빌 시간 도함수를 갖는 분수계수 반응-확산 방정식은 어떻게 닫힌 형태로 해결할 수 있는가?
• RQ2 리에즈-펠러 도함수는 비대칭성을 갖는 공간 분수확산 과정을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 리만-리우빌 도함수를 기반으로 한 해와 카프토 도함수를 사용한 해는 어떻게 비교되는가?
• RQ4 적분변환 기법을 사용하여 분포형 분수계수 반응-확산 방정식에 대해 계산 가능한 해를 구할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 미타그레플레르 함수의 관점에서 해의 해석적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 분수계수 반응-확산 방정식의 해는 일반화된 미타그레플레르 함수를 사용하여 닫힘 형태와 계산 가능한 형태로 표현된다.
• 이 방법은 일반화된 리만-리우빌 공식을 통해 분수계수 및 분포형 시간 도함수를 모두 효과적으로 처리한다.
• 이전의 카프토 도함수 기반 결과는 더 넓은 범주인 분수계수 시간 도함수를 통합함으로써 일반화된다.
• 병합 라플라스 및 푸리에 변환의 사용은 수치적 역변환을 요구하지 않고 정확한 해석적 해를 도출할 수 있게 한다.
• 유도된 해는 기억 효과와 비대칭성을 갖는 비정상 확산을 모델링하기 위한 통합된 프레임워크를 제공한다.
• 결과는 수학적 물리학에서 고전적 및 분수계수 확산 해법의 우아한 일반화를 나타낸다.