[논문 리뷰] Computable Stochastic Processes

Pieter Collins|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 형식적 효과성(type-two effectivity)과 계산 가능한 유형을 사용하여 확률, 랜덤 변수, 그리고 확률적 과정의 계산 가능한 이론을 개발하며, 리프시츠 계수를 가진 확률미분방정식(SDE)의 해를 효과적으로 계산할 수 있도록 한다. 랜덤 변수를 연속 함수의 극한으로 모델링하고 계산 가능한 프레임워크 내에서 수축사상(contraction mapping)을 사용함으로써, SDE의 해가 연속 시간에서 효과적으로 계산 가능한 랜덤 과정임을 증명한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to present an elementary computable theory of probability, random variables and stochastic processes. The probability theory is baed on existing approaches using valuations and lower integrals. Various approaches to random variables are discussed, including the approach based on completions in a Polish space. We apply the theory to the study of stochastic dynamical systems in discrete-time, and give a brief exposition of the Wiener process as a foundation for stochastic differential equations. The theory is based within the framework of type-two effectivity, so has an explicit direct link with Turing computation, and is expressed in a system of computable types and operations, so has a clean mathematical description.

연구 동기 및 목표

• 엄밀한 수치 해석에 적합한 기초적인, 계산 가능한 확률 및 확률적 과정 이론을 구축하기.
• 고전적 σ-대각선의 열악한 계산 가능성 문제를 해결하기 위해, 이를 연속 함수의 위상적 구성 및 완비화로 대체하기.
• 특히 SDE에 대해 랜덤 변수와 확률적 과정이 효과적으로 계산 가능한 프레임워크를 개발하기.
• 리프시츠 계수를 가진 확률미분방정식의 해가 연속 시간에서 효과적으로 계산 가능한 랜덤 과정으로서 계산 가능함을 보여주기.

제안 방법

• 수학적 객체를 튜링 기계가 처리할 수 있는 무한한 수열로 표현하는 방식인 형식적 효과성(TTE) 프레임워크 내에서 이론을 수립한다.
• 확률 측도는 평가 및 하한 적분을 통해 표현되며, 적분은 양의 하한연속 및 유계 연속 함수 위에서 정의된다.
• 랜덤 변수는 거의 everywhere에서 정의된 연속 부분 함수의 극한으로 정의되며, 폴란드 공간 내에서 연속 함수의 완비화를 이룬다.
• 확률적 과정은 연속 경로의 공간에서의 랜덤 요소로 모델링되며, $ d_{2,rown} $와 같은 노름이 경로 기반 $ L^2 $-거리 측도로 사용된다.
• SDE의 피카르 반복은 $ d_{2,rown} $에 대해 수축사상임을 보이며, 이는 짧은 시간 간격에서 효과적인 수렴을 보장한다.
• 해는 짧은 시간 간격으로 재귀적으로 구성되며, 이를 연결하여 전역적인 계산 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 σ-대각선의 비계산 가능성 문제를 피하면서도 고전적 확률적 추론을 유지할 수 있는 계산 가능한 확률 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 연속 영역에서의 랜덤 변수를 구축적 방법을 통해 효과적으로 표현하고 계산할 수 있는가?
• RQ3 리프시츠 계수를 가진 확률미분방정식의 해가 연속 시간에서 효과적으로 계산 가능한 랜덤 과정으로서 계산 가능할 수 있는가?
• RQ4 SDE의 피카르 반복이 계산 가능한 프레임워크에서 효과적으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크에서 빈자리 과정(Wiener process) 자체가 효과적으로 계산 가능한가? 이를 통해 SDE 해의 구축이 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 리프시츠 계수를 가진 확률미분방정식의 해는 연속 경로 공간 $ C([0,rown); ^d) $ 에 값을 갖는 랜덤 변수로서 계산 가능하다.
• 시간 간격 $ T $ 가 충분히 작을 경우, 즉 $ T < \min(1/2K, 1/16L^2) $ 일 때, SDE의 피카르 연산자는 $ d_{2,rown} $-노름 하에서 수축사상이 된다. 여기서 $ K $ 와 $ L $ 은 리프시츠 상수이다.
• 연속적인 확률적 과정의 비확률적 적분 $ \int_0^t X(s)\,ds $ 는 계산 가능하며, $ d_{2,rown}(\int Y dt, \int Z dt) \leq T d_{2,rown}(Y,Z) $ 를 만족한다.
• 확률적 적분 $ \int_0^t g(Y(s))\,dW(s) $ 는 계산 가능하며, $ d_{2,rown}(\int g(Y) dW, \int g(Z) dW) \leq 2\sqrt{T} d_{2,rown}(Y,Z) $ 를 만족한다.
• 빈자리 과정은 효과적으로 구성되며, 표본 경로는 계산 가능하므로 SDE 계산의 기초를 제공한다.
• 초기 조건이 $ \mathbb{R} $ 에 속할 경우, 해 연산자 $ \mathbb{R} \to R(C([0,T];\mathbb{R})) $ 는 계산 가능하며, 이는 정리 69를 통해 랜덤 초기 조건으로까지 확장된다.