[논문 리뷰] Computation of 2D Fourier transforms and diffraction integrals using Gaussian radial basis functions

Ramos López, Darío|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Advancements in Photolithography Techniques참고 문헌 55인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2D 푸리에 변환과 회절 적분을 효율적으로 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 구형 기저 함수(Gaussian radial basis functions, GRBFs)를 사용하여 입체함수를 근사함으로써, 여러 초점 조절 매개변수에 걸쳐 초점 통과(point spread functions)를 빠르고 정확하게 평가할 수 있다. 이 방법은 기존의 확장된 니지보어-제른릭 이론(extended Nijboer-Zernike theory)과 표준 FFT보다도 빠르고 정확하여 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

We implement an efficient method of computation of two dimensional Fourier-type integrals based on approximation of the integrand by Gaussian radial basis functions, which constitute a standard tool in approximation theory. As a result, we obtain a rapidly converging series expansion for the integrals, allowing for their accurate calculation. We apply this idea to the evaluation of diffraction integrals, used for the computation of the through-focus characteristics of an optical system. We implement this method and compare it performance in terms of complexity, accuracy and execution time with several alternative approaches, especially with the extended Nijboer-Zernike theory, which is also outlined in the text for the reader’s convenience. The proposed method yields a reliable and fast scheme for simultaneous evaluation of such kind of integrals for several values of the defocus parameter, as required in the characterization of the through-focus optics. Keywords: 2D Fourier transform, Diffraction integrals, Radial Basis Functions, Extended Nijboer–Zernike theory, Through-focus characteristics of an optical system.

연구 동기 및 목표

• 광학 시스템 모델링에서 2D 푸리에 유형의 적분을 평가하는 계산적 과제를 해결한다. 특히 초점 통과 특성에 초점을 맞춘다.
• 기존의 수치 적분 기법과 확장된 니지보어-제른릭(ENZ) 이론의 한계를 극복하며, 특히 고수치 렌즈 및 복잡한 입체함수 처리에 유리하다.
• 여러 초점 조절 매개변수에 동시에 적용 가능한 안정적이고 빠르며 정확한 회절 적분 계산 방법을 개발한다.
• 조정 가능한 형태 매개변수를 가진 GRBFs를 사용하여 복잡한 파면을 근사하는 다중 해상도 프레임워크를 제공한다.
• 옥외학, 현미경, 디지털 허모그래피 등 응용 분야에서 필수적인 고정밀도 점상 분포 함수(PSFs)의 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 입체함수를 구형이고 국소화된 가우시안 기저 함수(Gaussian radial basis functions, GRBFs)의 선형 조합으로 근사한다.
• 안정성과 높은 정확도를 확보하기 위해 Tikhonov 정규화를 적용한 최소 제곱법을 사용하여 GRBF 전개의 최적 계수를 결정한다.
• GRBF의 해석적 성질과 베셀 함수 항등식을 활용하여 원래의 2D 푸리에 적분을 수렴 속도가 빠른 급수로 변환한다.
• 제1종 베셀 함수와 관련된 알려진 항등식을 사용하여 유도된 적분의 닫힌 형태 표현식을 도출한다.
• 다중 초점 값에 걸쳐 GRBF 전개 계수를 재사용하는 효율적인 알고리즘을 구현하여 재계산 비용을 최소화한다.
• 근사 품질 평가를 위해 소볼레프 유형의 노름을 적용하여 진동에 민감한 정확도에 영향을 미치는 요소를 감지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 기저 함수(Gaussian radial basis functions)는 광학 시스템에서 2D 푸리에 변환을 계산할 때 표준 FFT 및 확장된 니지보어-제른릭 이론 대비 더 정확하고 효율적인 대안이 될 수 있는가?
• RQ2 다양한 초점 조절 매개변수에서 초점 통과 PSF를 평가할 때 GRBF 기반 방법의 정확도와 계산 비용은 어떻게 되는가?
• RQ3 GRBF의 형태 매개변수는 복잡한 파면을 근사할 때의 적응성과 해상도를 얼마나 향상시키는가?
• RQ4 이 방법은 다중 초점 값에 걸쳐서 재사용하거나 병렬 처리가 효율적으로 가능할 수 있는가? 추가 계산 비용이 크지 않은가?
• RQ5 비대칭 또는 고수치 렌즈 광학 시스템을 다룰 때 GRBF 방법은 ENZ 이론에 비해 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• GRBF 기반 방법은 동일한 계산 비용에서 확장된 니지보어-제른릭(ENZ) 이론과 표준 2D FFT보다 더 높은 정확도를 달성한다.
• 초점 통과 PSF를 여러 초점 매개변수에 걸쳐 거의 즉각적으로 평가할 수 있으며, 초기 계산 이후 추가 비용이 거의 들지 않는다.
• Tikhonov 정규화를 적용한 최소 제곱법을 사용한 GRBF 근사는 노이즈가 있거나 복잡한 파면에서도 안정적이고 매우 정확한 근사를 제공한다.
• 특히 높은 형태 매개변수에서 가우시안 함수의 국소화 성질 덕분에 입체함수 기하학적 변형에 대해 강건한 성능을 보인다.
• 다른 중심과 형태 매개변수를 가진 추가적인 GRBF 층을 추가하여 잔차 오차를 감소시키는 다중 해상도 정밀 조정이 가능하다.
• 노이즈가 포함된 합성 파면에 대해서도 GRBF 방법은 기준(수치 적분) 해와 매우 유사한 PSF 프로파일을 생성하였으며, 모든 초점 값에서 ENZ 및 FFT 방법보다 높은 정밀도를 확보하였다.