[논문 리뷰] Computation of bound states of semi-infinite matrix Hamiltonians with applications to edge states of two-dimensional materials

Kyle Thicke, Alexander B. Watson외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 2차원 물질에서의 에지 상태를 모델링하는 반무한 행렬 해밀토니안에서 경계 상태를 정확하게 계산하기 위한 수치적 방법을 제시한다. 빈티지 상태를 피하기 위해 빌드 경계 조건과 리에즈 투영을 사용한 그린 함수를 활용하며, 이는 타이트 버전 및 연속 PDE 모델 모두에서 결함이 있는 그래핀 제그재드 에지에서 진짜 에지 상태를 성공적으로 포착한다.

ABSTRACT

We present a numerical method which accurately computes the discrete spectrum and associated bound states of Hamiltonians which model electronic states localized at boundaries of one and two-dimensional crystalline materials. The problem is non-trivial since arbitrarily large finite hard truncations of the Hamiltonian in the infinite bulk direction tend to produce spurious bound states partially supported at the truncation. Our method, which overcomes this difficulty, is to compute the Green's function of the Hamiltonian by imposing an appropriate boundary condition in the bulk direction; then, the spectral data is recovered via Riesz projection. We demonstrate our method's effectiveness by studies of edge states at a graphene zig-zag edge in the presence of defects modeled both by a discrete tight-binding model and a continuum PDE model under finite difference discretization. Our method may also be used to study states localized at domain wall-type edges in one and two-dimensional materials where the edge Hamiltonian is infinite in both directions; we demonstrate this for the case of a tight-binding model of distinct honeycomb structures joined along a zig-zag edge.

연구 동기 및 목표

• 물질 표면의 전자 상태를 모델링하는 반무한 해밀토니안에서 유한한 잘라내기로 인해 발생하는 허위 경계 상태 문제를 해결하기 위해.
• 일차원 및 이차원 결정성 물질의 표면이 있는 경우 이산 스펙트럼과 국소화된 경계 상태를 계산하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 타이트 버전 모델과 연속 PDE 모델의 유한 차분 이산화를 모두 사용하여 결함이 있는 그래핀 제그재드 에지에서의 에지 상태를 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 에지 해밀토니안이 양방향으로 무한한 영역에 걸쳐 있는 도메인 월 유형의 에지로 방법을 확장하기 위해, 예를 들어 서로 다른 허브본 격자 간의 접합에서 발생하는 경우를 포함하여.

제안 방법

• 해밀토니안의 그린 함수를 계산하기 위해 배치 방향에서 물리적으로 적절한 경계 조건을 적용한다.
• 그린 함수를 사용하여 리에즈 투영을 통해 스펙트럼 데이터를 복원하며, 이는 이산 스펙트럼을 분리한다.
• 이 방법을 타이트 버전 모델과 연속 PDE의 유한 차분 이산화에 모두 적용한다.
• 무한한 배치 방향을 딱딱 잘라내지 않음으로써 수치적 안정성과 정확성을 확보한다.
• 에지 해밀토니안이 양방향으로 무한하게 연장되는 경우, 예를 들어 서로 다른 물질의 접합부에서의 도메인 월 접합부와 같은 경우를 다룰 수 있도록 접근법을 적응시킨다.
• 이미 알려진 에지 상태 행동을 보이는 시스템에서 방법을 검증한다. 이는 결함이 있는 그래핀 제그재드 에지 포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 잘라내기로 인한 허위 상태를 유발하지 않으면서 반무한 행렬 해밀토니안에서의 경계 상태를 어떻게 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ2 결함은 그래핀 제그재드 에지에서의 에지 상태 형성과 국소화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 동일한 수치적 프레임워크를 타이트 버전 모델과 연속 PDE 모델(유한 차분 이산화 포함)에 모두 적용할 수 있는가?
• RQ4 에지 해밀토니안이 양방향으로 무한한 시스템, 예를 들어 서로 다른 2차원 물질 간의 도메인 월 접합부에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 다른 허브본 격자들이 제그재드 인터페이스에서 접합된 복잡한 이종 구조에서 이 방법은 신뢰성 있게 에지 상태를 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 큰 시스템에서도 잘라내기로 인한 허위 기여 없이 진짜 경계 상태를 성공적으로 계산한다.
• 타이트 버전 모델과 연속 PDE 모델 모두에서 결함이 있는 그래핀 제그재드 에지에서의 에지 상태를 정확하게 포착한다.
• 에지 해밀토니안이 양방향으로 무한하게 연장되는 도메인 월 유형의 에지에 대해서도 이 접근법이 효과적이다.
• 리에즈 투영 기법을 통해 그린 함수에서 이산 스펙트럼을 정밀하게 추출할 수 있다.
• 이 방법은 타이트 버전 모델에서부터 유한 차분 이산화까지 다양한 모델 유형에서 강력하고 정확한 성능을 보인다.
• 이 프레임워크는 수치적 잡음이 최소화된 복잡한 2차원 물질 이종 구조에서의 에지 상태 연구를 신뢰성 있게 가능하게 한다.