[논문 리뷰] Computation of sensitivities for the invariant measure of a parameter dependent diffusion

Roland Assaraf, Benjamin Jourdain외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 λ=0에서의 불변 측도에 대한 매개변수 λ에 대한 기댓값의 도함수를 계산하기 위한 수치적 방법을 제안한다. 시간에 따라 프로세스와 그 도함수를 시뮬레이션함으로써, 도함수가 시간에 관계없이 제곱적분 가능해지는 충분조건을 확립하여, 파인먼-카크 공식과 그린-쿠보 관계를 통해 민감도의 효율적인 몬테카를로 추정이 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the solution to a stochastic differential equation with a drift function which depends smoothly on some real parameter $\\lambda$, and admitting a unique invariant measure for any value of $\\lambda$ around $\\lambda$ = 0. Our aim is to compute the derivative with respect to $\\lambda$ of averages with respect to the invariant measure, at $\\lambda$ = 0. We analyze a numerical method which consists in simulating the process at $\\lambda$ = 0 together with its derivative with respect to $\\lambda$ on long time horizon. We give sufficient conditions implying uniform-in-time square integrability of this derivative. This allows in particular to compute efficiently the derivative with respect to $\\lambda$ of the mean of an observable through Monte Carlo simulations.

연구 동기 및 목표

• 확산 과정에서 매개변수 λ에 대한 관측량 기댓값의 도함수를 λ=0에서 계산하는 것.
• 시간에 관계없이 도함수 과정이 제곱적분 가능해지는 충분조건을 확립하여 신뢰할 수 있는 몬테카를로 추정이 가능하게 하는 것.
• 과정과 그 도함수의 시간 평균 시뮬레이션을 사용한 민감도 계산을 위한 수치적 프레임워크를 제공하는 것.
• 파인먼-카크 공식과 그린-쿠보 관계를 사용하여 민감도에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.
• 기울기와 잠재력 함수에 대한 가정 하에 도함수 과정의 정적성과 장기적 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 장기간의 시간 영역에서 확산 과정 (X_t^λ) 과 그 도함수 ∂_λ^λ에 대한 Y_t^λ를 시뮬레이션한다.
• 민감도를 도함수 과정을 포함하는 기댓값으로 표현하기 위해 파인먼-카크 공식을 사용한다.
• 도함수 과정 (Y_t^λ) 이 시간에 관계없이 제곱적분 가능해지는 조건을 확립한다.
• 그린-쿠보 공식을 적용하여 민감도를 관측량과 도함수 과정 간의 공분산의 시간 적분으로 표현한다.
• 적절한 적분 가능성과 성장 조건을 갖춘 C² 함수 V에 대해 π₀ = e^{-V(x)}dx 를 기준 측도로 사용한다.
• 잠재력 V와 그 변형 ∂_λ⁰F_λ 에 대한 충분조건을 유도하여, 장기적으로 도함수 과정이 유계이면서 제곱적분 가능해지도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 λ에 대한 불변 측도의 도함수가 시간 평균 시뮬레이션을 통해 잘 정의되고 계산 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 몬테카를로 수렴을 보장하기 위해 필수적인 시간에 관계없이 제곱적분 가능성이 보장되는 도함수 과정 Y_t^λ의 조건은 무엇인가?
• RQ3 파인먼-카크 공식과 그린-쿠보 관계를 사용하여 관측량 기댓값의 민감도는 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 잠재력 V의 곡률이 도함수 과정의 안정성과 적분 가능성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 방법은 기울기의 비강하형 변형에 적용 가능한가? 그러한 확장에 필요한 가정은 무엇인가?

주요 결과

• λ=0에서 기댓값의 도함수는 관측량 f와 도함수 과정 Y_t^λ 간의 공분산의 장기 평균으로 주어진다.
• Y_t^λ 가 시간에 관계없이 제곱적분 가능해지는 충분조건이 유도되었으며, 이는 ∂_λ⁰F_λ 의 유계성과 π₀ 하에서 그 발산의 적분 가능성에 기반한다.
• 잠재력 V 가 볼록이고 ∇²V 가 국소 리프시츠일 경우, 도함수 과정은 시간에 관계없이 유계이면서 제곱적분 가능해진다.
• 볼록 잠재력 V 에 대해, |Y_t^x - Y_t^y|² ≤ |x - y|² exp(-∫₀ᵗ (v(Y_s^x) + v(Y_s^y)) ds) 를 만족하며, 여기서 v(x) = min Spec(∇²V(x)) 이다.
• 만약 V 가 min Spec(∇²V(x)) 가 볼록일 경우, 도함수 과정은 불변 측도 하에서 균일하게 제곱적분 가능해진다.
• 이 방법을 통해 유도된 적분 가능성 조건 하에서 수렴이 보장되는 시간 평균 시뮬레이션을 통한 민감도의 효율적인 몬테카를로 추정이 가능해진다.