[논문 리뷰] Computation of VaR and CVaR using stochastic approximations and unconstrained importance sampling

Olivier Bardou, Noufel Frikha외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 17.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 재무 및 에너지 포트폴리오의 Value-at-Risk (VaR)와 Conditional Value-at-Risk (CVaR)를 효율적으로 추정하기 위해 재귀적 확률적 근사법과 적응형 비제약 중요성 샘플링을 결합한 방법을 제안한다. Robbins-Monro 알고리즘과 Girsanov 기반 또는 Esscher 변환된 측도를 통한 분산 감소를 활용함으로써, 희귀사건 위험 추정에 있어 최소 분산과 중심극한정리 성질을 확보하여 특히 높은 신뢰수준(예: 99.5%)에서 시뮬레이션 시간을 크게 단축시킨다.

ABSTRACT

Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR) are two risk measures which are widely used in the practice of risk management. This paper deals with the problem of computing both VaR and CVaR using stochastic approximation (with decreasing steps): we propose a first Robbins-Monro procedure based on Rockaffelar-Uryasev's identity for the CVaR. The convergence rate of this algorithm to its target satisfies a Gaussian Central Limit Theorem. As a second step, in order to speed up the initial procedure, we propose a recursive importance sampling (I.S.) procedure which induces a significant variance reduction of both VaR and CVaR procedures. This idea, which goes back to the seminal paper of B. Arouna, follows a new approach introduced by V. Lemaire and G. Pagès. Finally, we consider a deterministic moving risk level to speed up the initialization phase of the algorithm. We prove that the convergence rate of the resulting procedure is ruled by a Central Limit Theorem with minimal variance and its efficiency is illustrated by considering several typical energy portfolios.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 비선형 지급구조와 경로에 의존하는 동적 특성을 갖는 포트폴리오의 VaR 및 CVaR 추정에 있어 계산적 과제를 해결한다.
• 특히 높은 신뢰수준(예: 95%, 99%, 99.5%)에서 표준 몬테카를로 방법의 느린 수렴 문제를 극복한다.
• Rockafellar-Uryasev의 항등식에 기반한 단일 재귀 알고리즘을 통해 VaR와 CVaR를 동시에 추정한다.
• 최적의 측도 전환에 대한 사전 지식이 필요 없이 분산을 크게 감소시키는 적응형 중요성 샘플링 절차를 개발한다.
• 희귀 꼬리 영역으로 향하는 중요성 샘플링 매개변수를 안내하기 위해 점진적으로 증가하는 위험 수준을 통해 초기화를 개선한다.

제안 방법

• Rockafellar-Uryasev의 볼록 최적화 공식에 기반하여 감소하는 스텝 크기를 갖는 Robbins-Monro 확률적 근사 알고리즘을 사용해 VaR와 CVaR를 동시에 추정한다.
• 점진적 평균화(Ruppert-Polyak averaging)를 적용하여 渐近적 효율성을 확보하고 최소 분산을 갖는 정규분포 수렴을 보장한다.
• 확률적 경량화 방법을 사용해 재귀적으로 측도 전환 매개변수를 업데이트하는 적응형 비제약 중요성 샘플링(IS) 절차를 도입한다.
• 확산 과정에 대해 Girsanov 정리를 적용하여 경로에 의존하는 설정에서 무한차원 분산 감소를 가능하게 한다.
• 목표 신뢰수준 α를 점차 증가시키는 동적 위험 수준 전략을 구현하여 αₙ → α로 설정함으로써 희귀사건 영역으로의 수렴을 향상시킨다.
• 두 가지 IS 변형을 적용: 평균 이동(위치 이동)과 Esscher 변환(노말 인버스 가우시안(NIG) 분포에서 β로 매개변수화됨), 후자는 첨부 꼬리 분포에서 더 효과적임을 입증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 재귀적 확률적 근사 알고리즘이 수렴 보장 조건 하에 VaR와 CVaR를 동시에 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ2 희귀사건의 VaR 및 CVaR 추정에서 분산을 최소화하기 위해 중요성 샘플링을 어떻게 적응적이고 재귀적으로 조정할 수 있는가?
• RQ3 점진적으로 증가하는 위험 수준 αₙ이 IS 절차의 수렴성과 분산 감소에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 첨부 꼬리 및 비대칭 분포에서, 평균 이동과 Esscher 변환의 서로 다른 IS 전략 간 성능 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 Girsanov 정리를 사용해 일반적인 확산 과정으로 일반화할 수 있을 때, 여전히 중심극한정리에서 최소 분산을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 평균화를 적용한 제안된 Robbins-Monro 알고리즘은 최소 분산을 갖는 정규분포 수렴을 보이며, 渐近적 효율성을 보장한다.
• 99.5% 신뢰수준에서, CVaR에 대한 분산 감소 비율(VRR)은 표준 몬테카를로 방법(50만 회 시뮬레이션 기준) 대비 최대 123배까지 향상되었다.
• Esscher 변환 기반 IS 절차는 평균 이동보다 뛰어난 성능을 보였으며, 특히 정규 역 가우시안(NIG)과 같은 첨부 꼬리 분포에서 99.5% 수준에서 VRR 110~123을 달성했다.
• 99% 신뢰수준에서, Esscher 변환을 사용한 CVaR 추정기의 VRR은 10만 단계에서 70에 도달하여 강력한 분산 감소 효과를 보였다.
• 손실 과정이 60차원 가우시안 벡터에 의존하는 고차원 포트폴리오(d=60)에서도 이 방법은 여전히 효과적이다.
• 초기 결과에 따르면, 의사 난수 대신 저이격도 수열(low-discrepancy sequences)을 사용할 경우 수렴 속도 향상이 가능할 것으로 보이지만, 이론적 기초는 아직 미확립되어 있다.