[논문 리뷰] Computation of whiskered invariant tori and their associated manifolds: new fast algorithms

Yannick Sire, Rafael de la Llave외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 29.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 42인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 이산화를 사용하는 뉴턴 유형의 방법을 통해 해밀토니안 시스템에서 털무늬 KAM 토러스와 그에 관련된 불변 다변량을 빠르고 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 $N$ 푸리에 모드에 대해 $O(N\ln N)$ 연산과 $O(N)$ 메모리 저장을 달성하여, 작동각 변수나 소규모 외란이 필요하지 않은 이산 및 연속 시간 시스템에서 높은 정밀도로 토러스와 털을 계산할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper we present efficient algorithms for the computation of several invariant objects for Hamiltonian dynamics. More precisely, we consider KAM tori (i.e diffeomorphic copies of the torus such that the motion on them is conjugated to a rigid rotation) both Lagrangian tori (of maximal dimension) and whiskered tori (i.e. tori with hyperbolic directions which, together with the tangents to the torus and the symplectic conjugates span the whole tangent space). In the case of whiskered tori, we also present algorithms to compute the invariant splitting and the invariant manifolds associated to the splitting. We present them both for the case of discrete time and for differential equations. The algorithms are based on a Newton method to solve an appropriately chosen functional equation that expresses invariance. The algorithms are efficient: if we discretize the objects by $N$ elements, one step of the Newton method requires only O(N) storage and $O(N \\ln(N))$ operations. Furthermore, if the object we consider is of dimension $\\ell$, we only need to compute functions of $\\ell$ variables, independently of what is the dimension of the phase space. The algorithms do not require that the system is presented in action-angle variables nor that it is close to integrable. The algorithms are backed up by rigorous \\emph{a-posteriori} bounds which state that if the equations are solved with a small residual and some explicitly computable condition numbers are not too big, then, there is a true solution which is close to the computed one. The algorithms apply both to primary (i.e non-contractible) and secondary tori (i.e. contractible to a torus of lower dimension, such as islands). They have already been implemented. We will report on the technicalities of the implementation and the results of running them elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 시스템에서 라그랑주 및 털무늬 KAM 토러스를 계산하는 데 있어 계산적으로 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 털무늬 토러스와 관련된 불변 분할 및 안정/불안정 다변량을 계산하여 이산 및 연속 시간 시스템에 모두 적용 가능하게 하는 것.
• 잔차와 조건수에 대한 명시적 경계를 통해 계산된 해의 정확한 후행 검증을 제공하는 것.
• 기본 및 2차(수축 가능한) 토러스, 특히 쌍곡 방향을 가진 토러스까지 계산 가능하게 하는 것.
• 차원에 따라 효율적으로 스케일링되는 알고리즘 설계: 단지 $O(N)$ 메모리와 $O(N\ln N)$ 연산을 요구하며, 위상공간 차원과는 무관하게 수행된다.

제안 방법

• 해밀토니안 시스템의 벡터장 또는 매핑을 기반으로 한 동역학적 불변성을 표현하는 함수 방정식을 뉴턴 방법으로 풀어 토러스의 불변성을 확보한다.
• 푸리에 급수를 사용하여 $N$ 계수로 토러스와 관련 함수를 이산화함으로써 스펙트럴 정밀도와 빠른 변환을 달성한다.
• 빠른 푸리에 변환(FFT)을 활용하여 뉴턴 단계당 $O(N\ln N)$ 연산을 달성하고, 표준 선형대수의 $O(N^3)$ 비용을 피한다.
• 불변 분할의 경우, 그래프 변환 대신 수직 프로젝터를 직접 사용하여 정수적 안정성을 향상시킨다.
• 불변 다변량의 경우, 반복적으로 수정된 불변성 방정식을 풀며, 각 단계에서 푸리에 공간 내 선형 시스템을 재귀적으로 풀어 정확도를 두 배로 증가시킨다.
• 후행 검증 적용: 잔차가 작고 조건수가 유계이면, 계산된 해 근처에 진짜 해가 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 해밀토니안 시스템에서 높은 정밀도와 효율성으로 털무늬 KAM 토러스와 그에 관련된 불변 다변량을 계산할 수 있는가?
• RQ2 고차원 토러스의 불변성 방정식을 풀 때 $O(N\ln N)$ 연산 수와 $O(N)$ 저장소를 달성하기 위한 알고리즘적 기법은 무엇인가?
• RQ3 이 알고리즘은 비적분 가능한 시스템과 작동각 변수에 있지 않은 토러스를 처리할 수 있는가?
• RQ4 잔차와 조건수에 대한 후행 경계를 사용하여 계산된 해를 엄밀하게 검증할 수 있는가?
• RQ5 큰 수의 푸리에 계수를 가진 시스템에서 이 방법의 계산 스케일링은 어떻게 되며, 기존의 뉴턴 방법과 비교해 볼 때 어떤가?

주요 결과

• 알고리즘은 뉴턴 단계당 $O(N\ln N)$ 연산과 $O(N)$ 저장소를 달성하여, 몇 백만 개의 푸리에 계수를 포함하는 계산도 표준 데스크톱 하드웨어에서 가능하게 한다.
• 이 방법은 위상공간 차원과 무관하다: 계산 비용에 영향을 주는 것은 오직 토러스의 차원 $\ell$ 뿐이며, 환경 공간의 차원은 영향을 주지 않는다.
• 알고리즘은 기본 및 2차(수축 가능한) KAM 토러스를 모두 계산하며, 쌍곡 방향을 가진 토러스도 포함한다.
• 불변 분할과 안정/불안정 다변량은 그래프 변환 대신 프로젝션 기반 방법을 사용하여 효율적으로 계산된다.
• 후행 검증 프레임워크는 잔차가 작고 조건수가 유계이면, 계산된 해 근처에 진짜 해가 존재한다는 것을 보장한다.
• 이 방법은 구현 및 테스트가 완료되었으며, 자세한 결과와 기술적 구현 세부사항은 별도의 논문 [HdlLS09] 에서 보고되었다.