[논문 리뷰] Computational Aspects of the Hausdorff Distance in Unbounded Dimension

Stefan König|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 07.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한 차원에서 다면체 간 하우스도르프 거리의 계산 복잡도를 조사하며, 두 다면체가 모두 정점 표현일 경우 다항식 시간 내에 해를 구할 수 있음을 보이며, 적어도 하나가 반평면 표현일 경우 NP- 및 W[1]-난이도임을 밝힌다. 또한 동형 변환을 포함하는 매칭 문제에 대해 다항식 시간 (3√d + 1)-근사 알고리즘을 제시하며, W[1]-난이도 평가 조건 하에서도 적용 가능하며, 존의 정리와 유사한 최적성 기준을 통해 볼록체에 대한 헬리 유형 정리를 수립한다.

ABSTRACT

We study the computational complexity of determining the Hausdorff distance of two polytopes given in halfspace- or vertex-presentation in arbitrary dimension. Subsequently, a matching problem is investigated where a convex body is allowed to be homothetically transformed in order to minimize its Hausdorff distance to another one. For this problem, we characterize optimal solutions, deduce a Helly-type theorem and give polynomial time (approximation) algorithms for polytopes.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원에서 두 다면체 간 하우스도르프 거리 계산의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 다면체가 반평면 또는 정점 형태로 표현될 경우 문제의 난이도를 분석하는 것.
• 하나의 볼록체가 동형 변환을 통해 다른 볼록체와의 하우스도르프 거리를 최소화하는 매칭 문제를 조사하는 것.
• 평가가 어려운 경우에도 특히 다항식 시간 근사 알고리즘을 유도하는 것.
• 존의 정리와 유사한 최적성 조건을 기반으로 볼록체에 대한 헬리 유형 정리를 수립하는 것.

제안 방법

• 다면체 표현 방식(정점(V) 또는 반평면(H))에 따라 하우스도르프 거리 계산의 복잡도를 분류한다.
• 매칭 문제를 모델링하고, 두 다면체가 모두 V-표현일 경우, 하우스도르프 거리를 근사하기 위해 두차원 원추 프로그래밍(SOCP)을 사용한다.
• 반지름이 축에 평행한 경계 상자로 H-다면체의 지름을 대체하여 다항식 시간 근사를 가능하게 하는 '기준점 방법'을 적용한다.
• 지지 함수와 단위 구체, 쌍대체의 성질을 이용해 성능 보장을 유도한다.
• 카라테오도리의 정리를 활용해 포함 제약 조건에 필요한 극단점 수를 줄인다.
• 볼록체에 대해 존의 정리에서 유도된 최적성 조건을 활용하여 헬리 유형 결과를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 차원에서 두 다면체가 모두 정점 표현일 경우, 하우스도르프 거리가 다항식 시간 내에 계산 가능한가?
• RQ2 적어도 하나의 다면체가 반평면 표현일 경우, 하우스도르프 거리 계산의 계산 복잡도는 어떠한가?
• RQ3 정점 표현 다면체에 대해 동형 변환을 통한 매칭 문제(하우스도르프 거리 최소화)가 효율적으로 해결 가능한가?
• RQ4 반평면 표현으로 인해 평가 문제가 W[1]-난이도가 되는 경우에도 매칭 문제에 대한 다항식 시간 근사 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 최적의 동형 변환과 볼록 기하학 간의 구조적 관계, 예를 들어 헬리 유형 정리는 어떠한가?

주요 결과

• 두 다면체가 모두 정점 표현일 경우, 임의의 노름에 대해 하우스도르프 거리를 다항식 시간 내에 계산할 수 있다.
• 적어도 하나의 다면체가 반평면 표현일 경우, 하우스도르프 거리 계산은 NP-난이도이자 W[1]-난이도이다.
• 두 정점 표현 다면체에 대해, 동형 변환 하에서의 매칭 문제는 임의의 차원에서 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 하나의 다면체가 반평면 표현일 경우에도, 최적의 하우스도르프 거리에 대해 (3√d + 1)-근사를 다항식 시간 내에 계산할 수 있다.
• 볼록체에 대해 헬리 유형 정리를 수립: 만약 볼록체 집합이 공통의 동형 변환으로 하우스도르프 거리를 최소화하는 경우, 최적의 변환을 결정하는 데 최대 d(d + 2)개 이하의 소집합으로 충분하다.
• 경계 상자의 지름을 다면체의 지름 대신 사용하는 기준점 방법은 (3√d + 1)-근사를 제공하며, 다항식 시간 계산이 가능하다.