[논문 리뷰] Computational complexity of PEPS zero testing

Giuseppe Scarpa, András Molnár외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 균일한 부스러기 PEPS에 대해 투영된 얽힌 상태 쌍 상태(PEPS)가 정확히 0인지 여부를 판단하는 것이 NP-난이도임을 증명한다. 또한 이 문제의 변종이 결정불가능함을 보이며, PEPS 기반 해밀토니안에서 대칭성과 스펙트럼 간격을 검증하는 데 근본적인 제약이 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Projected entangled pair states aim at describing lattice systems in two spatial dimensions that obey an area law. They are specified by associating a tensor with each site, and they are generated by patching these tensors. We consider the problem of determining whether the state resulting from this patching is null, and prove it to be NP-hard; the PEPS used to prove this claim have a boundary and are homogeneous in their bulk. A variation of this problem is next shown to be undecidable. These results have various implications: they question the possibility of a 'fundamental theorem' for PEPS; there are PEPS for which the presence of a symmetry is undecidable; there exist parent hamiltonians of PEPS for which the existence of a gap above the ground state is undecidable. En passant, we identify a family of classical Hamiltonians, with nearest neighbour interactions, and translationally invariant in their bulk, for which the commuting 2-local Hamiltonian problem is NP-complete.

연구 동기 및 목표

• PEPS 상태가 정확히 0인지 여부를 판단하는 데 필요한 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 행렬 곱 상태에서의 것들과 유사한 '기본 정리'를 PEPS에 대해 수립할 수 있는지 평가하는 것.
• PEPS 프레임워크 내에서 대칭성 존재 및 스펙트럼 간격과 같은 물리적 성질의 결정 가능성을 탐색하는 것.
• 2-국소 상호작용를 갖는 근접 이웃 상호작용을 갖는 고전적 해밀토니안 가족을 특정하여, 2-국소 동시 해밀토니안 문제의 NP-완전성 여부를 규명하는 것.

제안 방법

• PEPS의 0 검출 문제의 NP-난이도를 입증하기 위해 알려진 NP-완전 문제로의 축소를 수행하는 것.
• 복잡도를 유지하기 위해 경계가 있고 균일한 부스러기로 구성된 PEPS를 구축하는 것.
• 텐서 네트워크 패치 규칙을 사용하여 상태를 정의하고 그 영성(nullity)을 분석하는 것.
• 양자 계산에서의 결정불가능성 기법을 변형하여 PEPS의 0 검출 문제의 변종이 결정불가능함을 보이는 것.
• 2-국소 동시 해밀토니안 문제가 NP-완전이 되는, 전이 대칭성과 근접 이웃 상호작용을 갖는 고전적 해밀토니안의 클래스를 특정하는 것.
• 텐서 수축과 텐서 할당의 논리적 일관성의 관점에서 문제를 수리적으로 형식화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PEPS 상태가 0인지 여부를 판단하는 문제는 계산적으로 다룰 수 있는가, 아니면 NP-난이도인가?
• RQ2 행렬 곱 상태에서의 것들과 유사한 PEPS에 대한 '기본 정리'를 수립할 수 있는가?
• RQ3 PEPS 상태에서 대칭성이 존재하는지 여부는 결정 가능한가?
• RQ4 PEPS의 부모 해밀토니안의 기본 상태 위에 스펙트럼 간격이 존재하는지 여부는 결정 가능한가?
• RQ5 전이 대칭성과 근접 이웃 상호작용을 갖는 고전적 해밀토니안의 클래스에서 2-국소 동시 해밀토니안 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 경계가 있는 균일한 부스러기 PEPS에 대해서도 PEPS의 0 검출은 NP-난이도이다.
• PEPS의 0 검출 문제의 변종이 결정불가능함을 보이며, 이는 특정 물리적 성질 검증에 내재된 한계를 시사한다.
• 핵심 검증 작업의 결정불가능성으로 인해 PEPS에 대한 '기본 정리' 존재 가능성은 낮다.
• 일부 PEPS에서는 대칭성 존재 여부가 결정불가능하다.
• 일부 PEPS의 부모 해밀토니안에서는 스펙트럼 간격 존재 여부가 결정불가능하다.
• 2-국소 동시 해밀토니안 문제가 NP-완전이 되는 전이 대칭성과 근접 이웃 상호작용을 갖는 고전적 해밀토니안의 가정이 존재한다.