[논문 리뷰] Computational Complexity of Some Quantum Theories in $1+1$ Dimensions

Saeed Mehraban|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1+1 차원에서의 양자 산란 모델의 계산 복잡도를 조사한다. 입자를 구분 가능한 공으로 모델링하고, 탄성 충돌을 통해 순열의 초위상 상태를 생성한다. 초기 상태가 분리 가능한 경우, 이 모델은 DQC1(클래식적으로 효율적으로 시뮬레이션 가능한 클래스)에 속하지만, 임의의 초위상 상태를 가질 경우 후선택(post-selection)을 통해 BQP 보편성을 달성한다. 이는 효율적인 클래식적 시뮬레이션 가능성이 있다면 다항계층이 세 번째 수준으로 붕괴됨을 시사한다.

ABSTRACT

We study the computational complexity of certain integrable quantum theories in 1+1 dimensions. We formalize a model of quantum computation based on these theories. In this model, distinguishable particles start out with known momenta and initial superposition of different configurations. Then the label of these particles are measured at the end. We prove that additive approximation to single amplitudes of these models can be obtained by the one-clean-qubit model, if no initial superpositions are allowed. However, if arbitrary initial states and non-adaptive intermediate measurements are allowed, we show that conditioned on infinite polynomial hierarchy assumption it is hard to sample from the output distribution of these models on a classical randomized computer. A classical analogue of this model is also formalized and its computational power is pinned down within the complexity classes below BPP and NP.

연구 동기 및 목표

• 1+1 차원에서의 양자 공순열 모델의 계산 복잡도를 고전적 탄성 충돌의 양자 유사체로 분석하기.
• 다양한 초기 초위상 상태 하에서 이러한 모델이 생성하는 진폭과 분포의 복잡도 클래스를 규명하기.
• 반발력이 있는 델타 상호작용에서의 산란 진폭과 중간 측정 및 후선택을 통한 보편 양자 계산 간의 연결을 설정하기.
• 클래식적 및 양자적 공순열 모델을 비교하고, 각각의 복잡도 클래스를 정밀하게 규명하기.

제안 방법

• n개의 구분 가능한 입자를 대상으로 국소 순열 게이트가 작용하는 유니터리 회로 모델로 양자 공순열 모델을 수학적으로 정의한다.
• 일致한 산란 과정을 기술하기 위해 양자 양-버서터 방정식을 사용하고, 순열 상태에 작용하는 유니터리 연산자를 정의한다.
• 초기 상태가 항등 순열일 경우 단일 진폭을 효율적으로 근사하기 위해 DQC1 모델을 적용한다.
• 입자 레이블 기저에서의 중간 파괴 측정을 활용해 공순열 모델을 시뮬레이션하고, 후선택을 통해 보편 양자 계산을 실현한다.
• 후선택을 통해 산란 모델을 양자 회로 모델로 환원하고, 임의의 초기 초위상 상태가 허용될 경우 BQP와의 동치성을 보여준다.
• 확률적 스위치를 사용한 고전적 유사체를 분석하고, BPL 및 Almost-L에 포함됨을 증명하며, 결정적 사전 처리가 있을 경우 LOGSPACE와 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1 차원에서의 양자 산란 모델에서, 서로 다른 입자를 갖는 탄성 충돌을 겪는 경우 산란 진폭을 근사하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 시스템의 초기 상태가 양자 계산의 복잡도 클래스에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 산란 모델에서의 중간 측정 및 후선택이 보편 양자 계산을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 AC⁰ 사전 처리를 갖는 확률적 공순열 모델의 고전적 계산 능력은 무엇인가?
• RQ5 임의의 초기 초위상 상태를 가진 산란 모델을 효율적으로 클래식적으로 시뮬레이션할 수 있는가? 다항계층이 세 번째 수준으로 붕괴되지 않는 한 불가능하다.

주요 결과

• 초기 상태가 항등 순열일 경우, 진폭 근사 문제는 DQC1에 속하며, 이는 단일 청소 큐비트를 갖는 클래식 컴퓨터로도 효율적으로 시뮬레이션 가능함을 시사한다.
• 임의의 초기 초위상 상태를 가질 경우, 양자 공순열 모델은 표준 양자 컴퓨터의 출력 분포를 효율적으로 샘플링할 수 있으며, 이는 BQP 보편성을 의미한다.
• 반발력이 있는 델타 상호작용에 기반한 후선택된 산란 모델은 보편 양자 계산을 시뮬레이션할 수 있으며, 다항계층이 세 번째 수준으로 붕괴되지 않는 한 효율적인 클래식 시뮬레이션은 불가능함을 보여준다.
• 고전적 결정적 공순열 모델은 LOGSPACE와 동치이며, 확률적 버전은 BPL과 Almost-L 사이에 위치한다.
• 목표 순열 확률을 계산하는 고전적 문제는 P#P에 포함되며, 확률이 유리수일 경우 #P 오рак루에 접근할 수 있는 다항 시간 내에 해결 가능하다.
• 스위치를 인접 전환으로 제한할 경우 고전적 모델은 P에 국한되며, 이는 비인접 전환이 더 높은 계산 능력을 확보하는 데 필수적임을 보여준다.