[논문 리뷰] Computational Complexity of Tensor Nuclear Norm.

Shmuel Friedland, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 22.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 노름과 그 쌍대 노름 간의 이중성에 기반하여, 텐서의 핵노름을 근사하는 것이 NP-난이도임을 입증한다. 이는 핵노름 볼의 약한 멤버십 문제의 NP-난이도가 그 쌍대 노름의 경우와 정확히 동일한 조건을 만족할 때 성립함을 보여준다. 또한 이 결과를 양자정보 이론과 연결하여, 밀도 행렬의 이분할 분리 가능성은 해당 4차 텐서의 핵노름이 1 이하임과 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

Abstract. The main result of this paper is that the weak membership problem in the unit ball of a given norm is NP-hard if and only if the weak membership problem in the unit ball of the dual norm is NP-hard. Equivalently, the approximation of a given norm is polynomial time if and only if the approximation of the dual norm is polynomial time. Using the NP-hardness of the approximation of spectral norm of tensors we prove that the approximation of nuclear norm of tensors is NP-hard. In addition, we show that bipartite separability of a density matrix is equivalent its corresponding 4-tensor having unit nuclear norm, relating these results to quantum information theory. 1.

연구 동기 및 목표

• 텐서의 핵노름 근사화의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 노름의 약한 멤버십 문제와 그 쌍대 노름 간의 관계를 조사하는 것.
• 텐서 핵노름 복잡도를 양자정보이론, 특히 밀도 행렬의 이분할 분리 가능성과 연결하는 것.
• 스펙트럼 노름 근사화의 NP-난이도를 이용하여 핵노름의 난이도를 유추하는 것.

제안 방법

• 노름과 그 쌍대 노름 간의 이중성을 이용하여, 한 노름에 대한 약한 멤버십 문제의 NP-난이도가 다른 노름의 경우에도 동일하게 성립함을 보여준다.
• 이미 알려진 텐서의 스펙트럼 노름 근사화의 NP-난이도를 활용하여 핵노름 근사화의 NP-난이도를 유추한다.
• 밀도 행렬의 4차 텐서 표현을 구성하여 분리 가능성과 핵노름이 1 이하임을 연결한다.
• 약한 멤버십 문제를 활용하여 노름 근사화의 결정 문제를 형식화하고, 복잡도 이론적 분석을 가능하게 한다.
• 이분할 분리 가능성과 해당 4차 텐서의 단위 핵노름 간의 등가성을 기반으로 한다.
• 노름 근사화와 그 쌍대 노름 근사화 간의 다항시간 등가성을 이용하여 난이도 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서의 핵노름 근사화는 계산적으로 어려운가?
• RQ2 노름 근사화의 복잡도와 그 쌍대 노름 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 텐서의 스펙트럼 노름 근사화의 NP-난이도를 이용하여 핵노름의 난이도를 유추할 수 있는가?
• RQ4 텐서의 핵노름과 양자 상태의 분리 가능성 간에 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 4차 텐서의 단위 핵노름은 정확히 해당 밀도 행렬의 이분할 분리 가능성과 대응하는가?

주요 결과

• 스펙트럼 노름 근사화의 NP-난이도와 이중성에 기반하여, 텐서의 핵노름 근사화가 NP-난이도임을 입증하였다.
• 핵노름 볼의 약한 멤버십 문제의 NP-난이도는 그 쌍대 노름의 경우와 정확히 동일한 조건을 만족할 때 성립한다.
• 노름 근사화는 다항시간 내에 해결 가능할 조건과 그 쌍대 노름 근사화가 다항시간 내에 해결 가능할 조건이 정확히 일치한다.
• 밀도 행렬의 이분할 분리 가능성은 해당 4차 텐서의 핵노름이 1 이하임과 동치이다.
• 이 결과는 텐서 노름의 계산 복잡도와 양자 얽힘 탐지 간의 직접적인 다리를 놓는다.
• 이중성 프레임워크는 쌍대 노름 근사 문제 간의 NP-난이도 결과를 이전하는 일반적인 도구를 제공한다.