[논문 리뷰] Computational homogenization of heterogeneous media under dynamic loading

Chenchen Liu, Celia Reina|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 08.

Composite Material Mechanics참고 문헌 49인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 관성력과 부력력을 포함한 임의의 하중 조건, 특히 동적 하중 조건 하에서 다기능성 재료의 수치 균질화를 위한 변분적 군집화 프레임워크를 제안한다. 이는 기존의 FE² 방법을 동적 조건으로 확장한 것으로, 각 시간단계에서 단일 뉴턴-라프슨 반복을 통해 거시적 및 미시적 자유도를 동시에 정확히 해결할 수 있는 준명시적 다스케일 해법(QEMS)을 가능하게 한다. 이는 동적 영역에서 분산 및 수렴 행동을 정확히 캡처할 수 있다.

ABSTRACT

A variational coarse-graining framework for heterogeneous media is developed that allows for a seamless transition from the traditional static scenario to a arbitrary loading conditions, including inertia effects and body forces. The strategy is formulated in the spirit of computational homogenization methods (FE$^2$) and is based on the discrete version of Hill's averaging results recently derived by the authors. In particular, the traditional static multiscale scheme is proved here to be equivalent to a direct homogenization of the principle of minimum potential energy and to hold exactly under a finite element discretization. This perspective provides a unifying variational framework for the FE$^2$ method, in the static setting, with Dirichlet or Neumann boundary conditions on the representative volume element; and it directly manifests the approximate duality of the effective strain energy density obtained with these two types of boundary conditions in the sense of Legendre transformation. Its generalization to arbitrary loading conditions and material constitutive relations is then immediate through the incremental minimum formulation of the dynamic problem à la Radovitzky and Ortiz (1999), which, in the discrete setting, is in full analogy to the static problem. These theoretical developments are then translated into an efficient multiscale FE$^2$ computational strategy for the homogenization of a microscopic explicit dynamics scheme, with two noteworthy properties. Firstly, each time incremental problem can be solved exactly with a single Newton-Raphson iteration with a constant Hessian, regardless of the specific non-linearities or history-dependence of the micro-constituents' behavior. Secondly, the scheme concurrently solves for the microscopic and macroscopic degrees of freedom, in contrast to standard approaches based on sequential or nested minimizations.

연구 동기 및 목표

• 기존의 FE² 방법이 정적 조건에 국한되어 있다는 한계를 극복하기 위해, 관성력과 부력력을 포함한 동적 하중 조건으로의 확장을 시도한다.
• 증분 최소 잠재에너지 원리를 활용해 정적에서 동적 상황으로의 매끄러운 전환을 가능하게 하는 통합된 변분적 제형을 개발한다.
• 거시적 및 미시적 자유도를 동시에 해결함으로써 순차적 또는 중첩 최소화 전략을 피한다.
• 동적 설정에서의 균질화된 응력과 원자역학적 시뮬레이션에서의 비르발 응력 간의 직접적인 연결을 수립하여 다스케일 일관성을 향상시킨다.
• 공간 및 시간 이산화에 걸쳐 정확성을 유지하면서도 계산 효율성이 높은 다스케일 해법(QEMS)을 제공한다.

제안 방법

• Radovitzky와 Ortiz(1999)의 접근 방식을 따르되, 이산 유한요소 설정에 적합하게 조정된 증분 최소 잠재에너지 원리를 사용해 동적 문제를 수식화한다.
• 미세구조적 평형과 거시구조적 균질화 간의 일관성을 확보하기 위해, 힐의 평균화 정리의 이산형을 유도한다.
• 직접 증분 잠재에너지의 군집화를 수행하는 변분적 군집화 전략을 도입하여, 레지어르 변환을 통해 딜리흐트 및 뉴먼 경계 조건 간의 이중성(duaity)을 유지한다.
• 각 시간단계가 상수 헤시안 행렬 덕분에 단일 뉴턴-라프슨 반복으로 정확히 해결될 수 있도록, 준명시적 다스케일 해법(QEMS)을 구현한다.
• 스케일 분리와 미소 변위 변화의 대칭성을 확보하기 위해, 대표체적 요소(RVE)에 주기적 경계 조건을 적용한다.
• 균균화된 증분 잠재에너지에 대해 거시적 변수에 대해 미분을 취하여 효과적 응력과 변형에너지 밀도를 유도함으로써, 일관된 거시적 구동력을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적 조건에서 동적 하중 조건으로의 FE² 방법 일반화는 어떻게 이루어질 수 있으며, 이 과정에서 변분 일관성과 스케일 분리가 어떻게 유지될 수 있는가?
• RQ2 관성력과 부력력은 다기능성 매질의 균질화에 어떤 역할을 하는가? 이들은 다스케일 프레임워크에 어떻게 일관되게 통합될 수 있는가?
• RQ3 단일 뉴턴-라프슨 반복으로 동적 시뮬레이션에서 결합된 미세-거시 문제를 정확히 해결할 수 있는가? 이러한 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 원자역학적 시뮬레이션에서의 비르발 응력과 어떻게 관련이 있는가? 이는 다스케일 일관성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 QEMS 방법은 동적 파동 전파 문제에서 분산 관계와 수렴 행동을 얼마나 정확하게 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 관성력과 부력력을 포함한 시간에 의존하는 문제로 최소 잠재에너지 원리를 확장함으로써, FE² 방법을 동적 하중 조건으로 일반화한다.
• 상수 헤시안 행렬 덕분에 각 증분 시간단계가 단일 뉴턴-라프슨 반복으로 정확히 해결되며, 이는 준명시적 다스케일 해법(QEMS)을 가능하게 한다.
• 변분적 프레임워크를 통해 도출된 효과적 변형에너지 밀도는 레지어르 변환의 관점에서 딜리흐트 및 뉴먼 경계 조건 간의 정확한 이중성(duaity)을 보인다.
• 동적 설정에서의 균질화된 응력은 원자역학적 시뮬레이션에서 사용되는 비르발 응력 텐서와 수학적으로 동일하며, 연속체와 원자역학적 균질화 간의 근본적인 유사성을 드러낸다.
• 1D 층상 복합재료에 대한 수치 결과는 분산 특성의 정확한 예측과 공간 및 시간 이산화에 대해 정확한 해로 수렴하는 것을 보여준다.
• 길이 척도 분리가 허용하는 주파수 범위 내에서 동적 거동을 성공적으로 캡처하였으며, 이는 이 방법이 다기능성 및 메타물질에서의 파동 전파에 적용 가능하다는 것을 검증한다.