[논문 리뷰] Computational modelling of cardiac ischaemia using a variable-order fractional Laplacian

Megan E. Farquhar, Timothy J. Moroney외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 심장 허혈을 시뮬레이션하기 위해 비구조적 메시에서 효율적인 행렬 함수 방법을 사용하는 가변 순서 분수 라플라시안을 단일도메인 모델에 제안한다. 파편적 순서가 공간적으로 변하는 것으로 인해 손상된 조직에서 심장 부정맥의 핵심 요소인 파동 재진입이 발생함을 입증한다. 이는 이온 모델이나 자극 프로토콜을 변경하지 않아도 된다.

ABSTRACT

Heart failure is one of the most common causes of death in the western world. Many heart problems are linked to disturbances in cardiac electrical activity, such as wave re-entry caused by ischaemia. In terms of mathematical modelling, the monodomain equation is widely used to model electrical activity in the heart. Recently, Bueno-Orovio et al. [J. R. Soc. Interface 11: 20140352, 2014] pioneered the use of a fractional Laplacian operator in the monodomain equation to account for the complex heterogeneous structures in heart tissue. In this work we consider how to extend this approach to apply to hearts with regions of damaged tissue. This requires the use of a fractional Laplacian operator whose fractional order varies spatially. We develop efficient numerical methods capable of solving this challenging problem on domains ranging from simple one-dimensional intervals with uniform meshes, through to full three-dimensional geometries on unstructured meshes. Results are presented for several test problems in one dimension, demonstrating the effects of different fractional orders in regions of healthy and damaged tissue. Then we showcase some new results for a three-dimensional fractional monodomain equation with a Beeler-Reuter ionic current model on a rabbit heart mesh. These simulation results are found to exhibit wave re-entry behaviour, brought about only by varying the value of the fractional order in a region representing damaged tissue.

연구 동기 및 목표

• 가변 순서 분수 확산을 통해 공간 이질성을 반영하여 허혈성 조직에서 심장 전기 활동을 보다 정확하게 모델링하기.
• 심장 시뮬레이션에서 흔히 사용되는 복잡한 비구조적 3차원 메시에서 가변 순서 분수 라플라시안을 해결하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결하기.
• 밀도 높은 행렬 연산을 피하는 행렬 기반 수치 방법을 개발하여 대규모 3차원 문제에 대한 확장성을 확보하기.
• 파동 재진입—치명적인 부정맥과 연관된 현상—이 손상된 조직 영역에서 분수 확산만으로도 발생할 수 있는지 조사하기.
• 기존 일차원 결과와의 비교를 통해 검증하고, 해부학적으로 현실적인 토끼 심장 메시에서의 적용 가능성을 입증하기.

제안 방법

• 건강한 조직(α=2)과 허혈성 조직(α<2) 영역 간에 공간적으로 변화하는 분수 순서 α를 갖는 가변 순서 분수 라플라시안 연산자를 수립한다.
• 경계 조건이 동일한 유한 도메인에서 고유함수 전개를 통한 스펙트럼 정의를 사용하여 분수 라플라시안을 정의한다.
• 표준 이산 라플라시안 행렬의 행렬 함수로 분수 라플라시안을 표현하기 위해 행렬 이동 기법을 적용한다.
• 밀도 높은 행렬 조립을 피하기 위해 Krylov 부분공간 반복 방법(GMRES 등)을 사용하여 행렬 함수-벡터 곱을 효율적으로 계산한다.
• 오퍼레이터 분할과 암시적 시간 적분을 사용하여 변수 순서 분수 단일도메인 방정식과 Beeler-Reuter 이온 모델을 통합한다.
• 해부학적 모델에서 유도된 비구조적 3차원 메시와 구조적 1차원 메시 양쪽에서 시스템을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가변 순서 분수 라플라시안은 허혈성 심장 조직에서 변화된 전기 전도를 효과적으로 포착할 수 있는가?
• RQ2 손상된 조직에서 분수 순수만을 낮출 경우, 단일도메인 모델에서 파동 재진입 행동이 자연스럽게 발생하는가?
• RQ3 비구조적 메시에서 분수 PDE를 해결하는 데 있어 제안된 수치 방법은 기존 방법 대비 정확도와 효율성에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 방법은 3차원 해부학적으로 현실적인 심장 기하 구조로 효율적으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 분수 순서를 변화시킬 경우 허혈 영역에서 전도 속도와 군집형상에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 Cusimano(2016)의 이전 일차원 결과와 일치하여 정확성과 일관성을 입증한다.
• 밀도 높은 행렬 분해의 높은 계산 비용을 피할 수 있으며, 큰 일차원 문제에서 반복 계산 비용이 유리하게 스케일링된다.
• 토끼 심장 메시에서의 3차원 시뮬레이션에서, 허혈 영역의 분수 순서를 α=1.7으로 낮추었을 때 파동 재진입이 관찰되었으며, 건강한 조직에서는 α=2이다.
• 재진입 메커니즘은 허혈 영역에서 전도 속도가 느려지기 때문에 발생하며, 이는 파동이 심실 벽을 둘러싸면서 건강한 조직으로 재진입하기 때문이다.
• 허혈 영역를 통해 후진적 전파가 관찰되었으며, 이는 분수 확산만으로도 유도되는 재진입 패턴을 시사한다.
• 결과적으로 공간적으로 변화하는 분수 순서는 이온 전류 모델이나 자극 프로토콜을 수정하지 않아도 임상적으로 관련된 부정맥 유발 현상을 재현할 수 있음을 보여준다.