[논문 리뷰] Computer assisted proof for Apwenian sequences related to Hankel determinants

Hao Fu, Guo-Niu Han|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 생성 다항식으로 정의된 여러 무한 ±1 수열에 대한 Apwenian 성질에 대해 컴퓨터 보조 증명을 제시한다. 보다 발전된 조합적 방법을 사용하여, $Φ(1 - x - x^2)$, $Φ(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$ 및 degree 17 이하의 다른 수열들이 Apwenian 임을 입증한다. 이는 모든 $n$에 대해 허틀 행렬 행렬식을 $2^{n-1}$으로 나눈 값이 홀수라는 것을 의미하며, 복잡한 경우를 위해 최적화된 C 코드를 사용한 알고리즘 계산을 통해 검증된다.

ABSTRACT

An infinite $\pm 1$-sequence is called {\it Apwenian} if its Hankel determinant of order $n$ divided by $2^{n-1}$ is an odd number for every positive integer $n$. In 1998, Allouche, Peyrière, Wen and Wen discovered and proved that the Thue--Morse sequence is an Apwenian sequence by direct determinant manipulations. Recently, Bugeaud and Han re-proved the latter result by means of an appropriate combinatorial method. By significantly improving the combinatorial method, we prove that several other Apwenian sequences related to the Hankel determinants with Computer Assistance.

연구 동기 및 목표

• 허틀 행렬식과 관련된 새로운 무한 ±1 수열의 Apwenian 성질을 규명하고 증명하는 것.
• 기존에 알려진 Thue–Morse 수열이 Apwenian임을 증명한 결과를, 재귀적 곱 생성 함수로 정의된 더 넓은 수열 클래스로 확장하는 것.
• 伝통적인 대수적 방법이 실패하는 경우 Apwenian 성질을 검증하기 위해 개선된 조합적 방법과 컴퓨터 보조를 통합하여 개발하고 적용하는 것.
• 닫힌형 행렬식 표현이 없는 복잡한 생성 다항식을 가진 수열에 대해 알고리즘 계산을 통해 Apwenian 성격을 증명할 수 있는 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 무한 곱 $\Phi(\tilde{\bf v}(x)) = \prod_{k=0}^\infty \tilde{\bf v}(x^{d^k})$로 정의된 수열의 허틀 행렬식의 구조를 분석하기 위해 일반화된 조합적 방법을 사용한다. 여기서 $\tilde{\bf v}(x)$는 degree $d-1$인 ±1 다항식이다.
• 인덱스의 base-$d$ 전개에 기반한 $U_n$, $V_n$, $W_n$ 등의 수열에 대한 재귀 관계를 정의하고, 이를 모듈로 2로 추적하여 허틀 행렬식의 기수성을 결정한다.
• 이 방법은 다양한 수열 가족 간의 변환 규칙(예: UVW → XYZ)을 이용한 수열의 기호적 조작을 포함하며, 상태는 문자와 숫자의 조합으로 표현되어 모듈로 2의 값이 된다.
• 특수 제작된 프로그램 Apwen.py를 사용하여 수열 상태의 계산을 자동화하고, $H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$ 이 모든 $n$에 대해 성립함을 검증한다. 고도로 복잡한 경우의 성능 향상을 위해 C로 재작성하였다.
• 알고리즘은 수열의 재귀적 구조를 시뮬레이션하고 각 항의 기여도를 모듈로 2로 추적하여 허틀 행렬식의 기수성을 확인한다.
• 예를 들어 $F_{13}$ 및 $F_{17a/b}$ 수열의 경우, 계산에 상당한 시간이 소요되었으며(기본 컴퓨터에서 Python으로 11시간, 24개 CPU에서 C로 7일), 이는 높은 차수의 경우에서의 확장성과 최적화의 필요성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 생성 다항식으로 정의된 Thue–Morse 수열 외에 새로운 Apwenian 수열이 존재하는가?
• RQ2 degree $d > 2$인 ±1 다항식 $\tilde{\bf v}(x)$로 생성된 $\Phi(\tilde{\bf v}(x))$ 수열에 대해 Apwenian 성질을 증명할 수 있는가?
• RQ3 닫힌형 행렬식 표현이 없는 경우, 조합적 방법을 체계적으로 개선하고 자동화하여 Apwenian 성질을 검증할 수 있는가?
• RQ4 고차수 생성 다항식을 가진 수열의 Apwenian 성질을 검증하는 데 필요한 계산 복잡도는 얼마이며, 이를 어떻게 줄일 수 있는가?

주요 결과

• Thue–Morse 수열 $F_2(x) = \Phi(1 - x)$는 Apwenian임을 입증하였으며, 이는 Allouche 등(1998)의 원래 결과를 컴퓨터 보조 증명으로 재확인한 것이다.
• 수열 $F_3(x) = \Phi(1 - x - x^2)$, $F_5(x) = \Phi(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$, $F_{11}(x)$, $F_{13}(x)$, 그리고 $F_{17a}(x)$ 및 $F_{17b}(x)$ 모두 Apwenian임을 증명하였다.
• $F_{13}(x)$의 증명은 표준 컴퓨터에서 Python 프로그램 Apwen.py를 사용해 11시간의 계산을 필요로 하였다.
• $F_{17a}(x)$ 및 $F_{17b}(x)$의 증명은 프로그램을 C로 재작성하고 24개 CPU에서 7일간의 계산을 수행하여, 고차수의 경우 계산의 강도가 매우 높음을 보여주었다.
• 제시된 수열들에 대해 $H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$ 이 모든 $n$에 대해 성립함을 성공적으로 검증하였으며, 이는 그들의 Apwenian 성격을 확인한다.
• $F_7(x)$가 목록에 포함되지 않은 것은 degree 7 다항식으로 생성된 모든 수열이 Apwenian이 아니라는 것을 시사하며, 이는 근본적인 조건에 비정상적인 구조가 존재함을 나타낸다.