[논문 리뷰] Computer-supported Analysis of Positive Properties, Ultrafilters and Modal Collapse in Variants of G\"odel's Ontological Argument

Christoph Benzmüller, David Fuenmayor|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 20.

Semantic Web and Ontologies참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Isabelle/HOL에서 컴퓨터 지원 추론을 사용하여 스코트, 앤더슨, 페이팅이 제안한 고델의 존재론적 증명의 세 변형을 체계적으로 분석한다. 정의된 성질의 내적과 외적 성질에 대해 모달 초수체를 도입하고 적용함으로써, 앤더슨과 페이팅의 변형이 모달 붕괴를 피함을 입증한다. 페이팅의 접근은 강성 있는 성질 외연에 대해 δ-초수체를 기반으로 하며, 스코트의 변형은 내적 성질에 대해 γ-초수체를 사용함으로써 붕괴를 초래한다.

ABSTRACT

Three variants of Kurt G\"odel's ontological argument, proposed by Dana Scott, C. Anthony Anderson and Melvin Fitting, are encoded and rigorously assessed on the computer. In contrast to Scott's version of G\"odel's argument the two variants contributed by Anderson and Fitting avoid modal collapse. Although they appear quite different on a cursory reading they are in fact closely related. This has been revealed in the computer-supported formal analysis presented in this article. Key to our formal analysis is the utilization of suitably adapted notions of (modal) ultrafilters, and a careful distinction between extensions and intensions of positive properties.

연구 동기 및 목표

• 스코트, 앤더슨, 페이팅의 고델 존재론적 증명 변형 세 종류의 일致성과 모달 행동을 체계적으로 평가하는 것.
• 모달 논리 프레임워크에서 일반적으로 바람직하지 않은 결과로 여겨지는 모달 붕괴(ϕ → □ϕ) 문제를 해결하는 것.
• 내적 성질(세계에 따라 달라지는 성질)과 외연 성질(고정된 성질) 간의 철학적·논리적 차이를 긍정 성질의 맥락에서 명확히 하는 것.
• 오직 제한된 긍정 성질의 개념(외연에 적용된 경우)만 모달 초수체를 이룬다는 것을 체계적으로 입증함으로써, 모달 붕괴를 피하는 데 핵심적인 역할을 한다는 것을 보여주는 것.
• 앤더슨과 페이팅의 변형 간 논리적 구조를 통합하고 비교함으로써, 표면상의 차이가 있음에도 불구하고 그들의 기초적인 수학적 동치성을 드러내는 것.

제안 방법

• Church의 단순 유형 이론(HOL)에 기반한 Isabelle/HOL 증명 보조도구 내에서, 내적 고차수 모달 논리(IHOML)의 얕은 의미론적 통합(SSE)을 사용하는 것.
• 모달 논리 K와 S5를 인코딩하고, 키 정리의 de dicto 및 de re 해석을 표현하기 위해 양적 모달 논리를 확장하는 것.
• 두 종류의 초수체를 정의하고 체계화하는 것: 내적 성질(세계에 따라 달라지는)에 대한 γ-초수체와 강성 있는 외연에 대한 δ-초수체.
• 자동화 및 상호작용 증명 도구(Nitpick 등)를 사용하여 일치성, 반모델 생성, 모달 붕괴 및 바르칸 공식의 타당성을 검증하는 것.
• 원래의 긍정 성질 개념(P)과 외연에 적용된 제한된 버전(P′)을 구분하고, 그들의 초수체 성질을 분석하는 것.
• 기존의 고차수 증명 보조도구를 비정규 논리에 재사용할 수 있는 보편적인 논리적 추론 접근법을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스코트, 앤더슨, 페이팅의 고델 존재론적 증명 변형은 일치성과 모달 행동 측면에서 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 표면적으로 유사한 형태를 지닌 앤더슨과 페이팅의 변형은 왜 모달 붕괴를 피하는 반면, 스코트의 변형은 이를 겪는가?
• RQ3 내적 성질과 외연 성질의 역할은 긍정 성질 집합이 모달 초수체를 이룰 수 있는지 여부를 결정하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 내적 긍정 성질(P)과 외연 긍정 성질(P′)의 구분은 왜 앤더슨과 페이팅의 변형이 모달 붕괴를 피하는지를 설명할 수 있는가?
• RQ5 다른 표현 방식을 지닌 앤더슨과 페이팅의 변형은 얼마나 수학적으로 동치적인가, 표면상의 차이가 있음에도 불구하고?

주요 결과

• 스코트의 변형은 긍정 성질의 개념 P가 내적 성질에 대해 γ-초수체를 이룬다는 점에서 모달 붕괴를 겪는다. 이는 ϕ → □ϕ를 유도한다.
• 앤더슨의 변형은 오직 제한된 개념 P′(외연에 적용된 경우)만 γ-초수체를 이룬다는 점에서 모달 붕괴를 피한다. P 자체는 그러한 초수체를 이루지 않는다.
• 페이팅의 변형은 긍정 성질의 개념을 외연에만 적용하도록 재정의함으로써 모달 붕괴를 피한다. 이 P′은 δ-초수체를 이룬다. 이는 모달 붕괴를 차단하는 데 충분하다.
• 앤더슨과 페이팅의 변형의 일치성이 Isabelle/HOL에서 Nitpick를 사용하여 확인되었으며, 모달 붕괴 및 바르칸 공식에 대해 반모델이 생성되었다.
• 실존주의 양자화를 사용할 경우, 바르칸 공식과 그 역은 유형 γ(내적 성질)에 대해 타당하지만, 유형 e(개체)에 대해서는 타당하지 않다. 이는 유형과 양자화자 선택에 민감함을 나타낸다.
• 표현 방식이 다름에도 불구하고, 앤더슨과 페이팅의 변형은 둘 다 오직 제한된 P′만 모달 초수체를 이룬다는 점에서 수학적으로 동치이다. 전체 P가 초수체를 이룰 필요는 없다.