[논문 리뷰] Computing automorphism groups of shifts using atypical equivalence classes

Ethan M. Coven, Anthony Quas외 1명|Open Research Online (The Open University)|2015. 05. 11.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비틀림 등가류와 오도미터 산술을 활용하여 원시적 일정 길이 치환 이동의 양측 자동형군을 계산하는 알고리즘을 제시한다. 이들 군이 충돌이 있는 경우와 높이 1인 경우를 포함한 광범위한 클래스에서 순환적임을 증명하고, 이러한 방법을 두 치환 이동 간의 위상 동형사상 계산으로 확장한다.

ABSTRACT

We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,σ)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,σ)/\langle σ angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.

연구 동기 및 목표

• 원시적 일정 길이 치환 이동의 두측 자동형군을 계산하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 충돌이 있는 경우와 높이 1인 경우를 포함한 이동에서 자동형군이 순환적임을 입증하는 것, 특히 많은 토플리츠 이동을 포함한다.
• 이 방법을 두 치환 이동 간의 위상 동형사상 집합을 계산하는 데로 확장하는 것.
• 최대 등지속연속성 인자로부터 유도된 지문 불변량을 사용하여 자동형군의 구조에 대해 구조적 경계를 제공하는 것.
• 하향 복잡도 이론에서 자동형군 계산의 계산 가능성을 다루며, 특히 치환 체계에 초점을 맞추는 것.

제안 방법

• 최대 등지속연속성 인자(즉, 오도미터)를 사용하여 각 자동형에 대해 $\mathbb{Z}_r$ 내의 '지문'을 정의함으로써 검색 공간을 축소한다.
• 오도미터의 산술적 성질을 적용하여 가능한 지문이 작은 분모를 가진 유리수로 제약됨을 확인한다.
• 후보 지문이 실제 자동형에 해당하는지 확인하기 위해 검증 가능한 조건(예: 정리 3.19 및 3.21)을 도입한다.
• 지문의 열 번호 $c$와 주기성을 활용하여 동형사상 맵에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• 고차 반복에서의 치환 역학을 사용하여 일정 반경의 블록 맵(예: $\Phi^f_{1,0}$)을 통해 동형사상 맵을 구성하고 일관성을 검증한다.
• 특히 $\kappa(\Phi) = k/(1 - r^p)$ for $0 < k < r^p - 1$ 이라는 사실을 이용하여 가능한 동형사상들을 특성화하고 자동 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원시적 일정 길이 치환 이동의 자동형군은 알고리즘적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 자동형군이 순환적이며, 특히 충돌이 있는 경우와 높이 1인 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 어떤 블록 맵이 두 치환 이동 간의 위상 동형사상이 되기 위한 필요 및 충분 조건인가?
• RQ4 오도미터 인자에서의 지문 불변량은 자동형을 제약하고 분류하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 하향 복잡도 이론에서의 자동형군의 몫 $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle\sigma\rangle$ 는 어떤 구조를 가지며, 어떻게 경계를 정할 수 있는가?

주요 결과

• 충돌이 있고 높이 1인 원시적 일정 길이 치환 이동의 두측 자동형군은 순환적이다.
• 이러한 이동에 대해 $\mbox{Aut}(X_\theta, \sigma)$ 를 계산하는 알고리즘이 제시되며, 이는 $\mathbb{Z}_r$ 내의 지문 제약 조건에 기반한다.
• 순수하게 이산 스펙트럼을 가지는 이동(즉, 충돌이 있는 이동)의 자동형군은 이동과 가능한 문자 교환 자동형군에 의해 생성된다.
• 두 원시적 일정 길이 치환 이동 간의 동형사상 집합은 일정 반경의 블록 맵을 사용하여 알고리즘적으로 결정될 수 있다.
• 동형사상 $\Phi$ 의 지문 $\kappa(\Phi)$ 는 $0 < k < r^p - 1$ 인 형태의 유리수 $k/(1 - r^p)$ 여야 하며, 치환 반복에 따라 재귀 조건을 만족한다.
• 이러한 이동의 한측 자동형군은 자명하다. 이는 오도미터의 산술적 성질과 비자명한 한측 자동형군의 부재로 인해 입증된다.