[논문 리뷰] Computing control invariant sets in high dimension is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 23.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고차원 선형 시스템에서 제어 불변 집합을 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 불변 조건을 N단계 집합을 포함하는 선형계획법(LP) 타당성 문제로 공식화하여, 계산 비용이 높은 민코프스키 합과 정점 열거를 피한다. 이 방법은 30개 상태와 15개 입력을 가진 시스템에서도 최대 제어 불변 집합의 근사치를 스케일러블하고 효율적으로 계산할 수 있게 하며, 수치 예제를 통해 낮은 보수성과 높은 확장성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled high-dimensional systems with constraints on the input and on the states. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and vertices enumeration and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing approximations of the maximal control invariant set, based on the 10-step operator, for a system whose state and input dimensions are 30 and 15, respectively.

연구 동기 및 목표

• 상태 및 입력 제약 조건이 있는 고차원 선형 시스템에서 제어 불변 집합을 계산하는 데 있어 계산적으로 불가능한 문제를 해결하기 위해.
• 차원이 증가함에 따라 성능이 급격히 떨어지는 기존의 민코프스키 합과 정점 열거 기반 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 다각형 집합이나 그 정점의 명시적 계산을 피하는 제어 불변성에 대한 집합 포함 조건을 개발하기 위해.
• 볼록 최적화를 활용하여 고차원 시스템에서 실용적인 제어 불변 집합 계산을 가능하게 하기 위해.
• 30차원, 15입력 시스템에서 이 방법의 확장성과 낮은 보수성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 제어 불변성을 N단계 도달 가능 집합을 포함하는 집합 포함 조건으로 공식화하여, 명시적 민코프스키 합 계산을 피한다.
• 불변 조건을 선형계획법(LP) 타당성 문제로 표현하여 고차원에서도 효율적으로 해결할 수 있도록 한다.
• 최대 제어 불변 집합을 근사하기 위해 10단계 집합 기반의 N단계 연산자를 사용한다.
• 다각형 제약 조건의 구조를 활용하여 불변 조건을 부등식을 직접 다루는 방식으로 정점 열거를 피한다.
• 비특이 변환을 통해 30차원 시스템을 15개의 분리된 2차원 부분시스템으로 변환한다.
• 결과적으로 얻어진 불변 집합은 2차원 불변 집합의 카르테시안 곱으로 계산된 후 원래 좌표계로 변환된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 민코프스키 합이나 정점 열거에 의존하지 않고도 고차원 선형 시스템에서 제어 불변 집합을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 제어 불변성 조건을 볼록 최적화 문제로 공식화할 수 있으며, 이는 고차원으로도 확장 가능한가?
• RQ3 N단계 연산자 방법의 근사 품질은 고차원 시스템에서 진짜 최대 제어 불변 집합과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 이 방법은 밀도가 높고 구조적 희소성 없이 전체로 연결된 시스템 매트릭스를 가진 시스템에 적용 가능한가?
• RQ5 N단계 연산자의 N을 증가시킬수록 LP 기반 접근법의 수렴 특성과 보수성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 LP 타당성 문제를 통해 제어 불변 집합을 계산하여, 30차원, 15입력 시스템과 같은 고차원 시스템에서도 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 민코프스키 합과 정점 열거의 NP-난해한 복잡도를 피함으로써 고차원으로의 확장성이 보장된다.
• 30차원 시스템에서 N=10일 때 rΩ/rΣ ≈ 0.95(평균)의 비율을 달성하여 진짜 최대 불변 집합에 매우 가까운 근사를 이룬다.
• 시작점을 원점으로 설정할 경우, 최대 제어 불변 집합으로 내부에서 수렴하며, 최대 5회 이터레이션 내에 수렴이 관찰된다.
• 방법은 낮은 보수성을 보였으며, 레이 교차 분석을 통해 계산된 집합이 진짜 최대 불변 집합의 대부분을 커버하고 있음을 확인했다.