[논문 리뷰] Computing directed path-width and directed tree-width of recursively defined digraphs

Frank Gurski, Carolin Rehs|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 12.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 co-graph와 같은 재귀적으로 정의된 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭을 계산하기 위한 선형 시간 알고리즘을 제시한다. 이는 이격 합성, 순서 조합, 방향성 합성, 병렬 조합 등의 구성 규칙을 통해 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭의 동일성을 확립함으로써 이루어진다. 주요 기여는 기존의 무방향 co-graph에 대한 결과를 방향성 설정으로 일반화하여 넓은 범위의 방향성 그래프에 대해 효율적인 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the directed path-width and directed tree-width of recursively defined digraphs. As an important combinatorial tool, we show how the directed path-width and the directed tree-width can be computed for the disjoint union, order composition, directed union, and series composition of two directed graphs. These results imply the equality of directed path-width and directed tree-width for all digraphs which can be defined by these four operations. This allows us to show a linear-time solution for computing the directed path-width and directed tree-width of all these digraphs. Since directed co-graphs are precisely those digraphs which can be defined by the disjoint union, order composition, and series composition our results imply the equality of directed path-width and directed tree-width for directed co-graphs and also a linear-time solution for computing the directed path-width and directed tree-width of directed co-graphs, which generalizes the known results for undirected co-graphs of Bodlaender and Moehring.

연구 동기 및 목표

• 무방향 co-graph에서의 경로 폭과 트리 폭의 동일성 결과를 방향성 설정으로 확장하기 위해.
• 재귀적으로 정의된 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭을 계산하기 위한 구성적 방법을 개발하기 위해.
• 무방향 co-graph에서의 결과를 방향성 co-graph와 확장된 방향성 co-graph로 일반화하기 위해.
• 방향성 co-graph에서 이러한 폭 매개변수를 계산하기 위한 선형 시간 알고리즘을 제공하기 위해.
• 분해 연산을 사용하여 방향성 그래프에서 폭 매개변수의 이론적 기초를 구축하기 위해.

제안 방법

• 논문은 방향성 그래프에 대해 이격 합성, 순서 조합, 방향성 합성, 병렬 조합의 네 가지 연산을 정의하여 복잡한 방향성 그래프를 재귀적으로 구성한다.
• 각 연산에 대해 결과 방향성 그래프의 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭이 구성 요소 방향성 그래프의 매개변수로부터 계산될 수 있음을 증명한다.
• 구성적 증명을 통해 구성 요소의 분해에서 방향성 경로 분해와 방향성 트리 분해를 구성한다.
• 분해 규칙을 뒷받침하기 위해 이중 방향 완전 부분방향그래프 및 이분 부분방향그래프 보조정리를 도입한다.
• 이 four 가지 연산으로 구성된 모든 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭이 동일함을 증명한다.
• 이 방법은 방향성 co-graph와 확장된 방향성 co-graph로 확장되며, 이들이 네 가지 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이四种 연산을 사용한 재귀적 정의된 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭을 분해 규칙을 통해 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 이격 합성, 순서 조합, 방향성 합성, 병렬 조합을 통해 구성된 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭이 여전히 동일한가?
• RQ3 방향성 co-graph에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭의 동일성은 무방향 co-graph 결과를 일반화하는가?
• RQ4 방향성 co-graph에서 두 폭 매개변수를 계산하기 위한 선형 시간 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ5 방향성 그래프의 폭 매개변수는 그 강한 연결 성분과 약순환 축소물의 폭 매개변수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 이격 합성, 순서 조합, 방향성 합성, 병렬 조합을 통해 구성된 모든 방향성 그래프에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭이 동일하다.
• 이러한 그래프, 특히 방향성 co-graph에서 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭을 계산하기 위한 선형 시간 알고리즘이 존재한다.
• 방향성 co-graph에서는 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭이 가장 큰 이방향 클리크의 크기에서 1을 뺀 값과 같다.
• 일반적인 방향성 그래프의 방향성 경로 폭과 방향성 트리 폭은 그 강한 연결 성분들에 대한 이러한 매개변수의 최댓값으로 유계이다.
• Bodlaender와 Möhri의 이전 작업을 일반화하여, 무방향 co-graph에서의 경로 폭과 트리 폭의 동일성 결과를 방향성 경우로 확장한다.
• 이 접근은 빈 집합을 허용하는 분해를 허용하는 정의들에 대해 강건하지만, Reed의 정의는 더 높은 값을 낼 수 있어 예외이다.