[논문 리뷰] Computing eigenvalues of diagonalizable matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 위상 추정, 양자 미분방정식 해결 및 양자 특이값 추정을 사용하여 실수 또는 복소수 고유값을 가진 대각화 가능한 행렬의 고유값을 계산하는 두 가지 양자 알고리즘을 제안한다. 알고리즘은 정밀도 ε로 고유값과 고유벡터의 초위상 상태를 출력하며, 실수 고유값을 가진 대각화 가능한 행렬의 경우 복잡도 𝒪̃(sρ²κ²/ε²)을 달성하고, 정규 행렬의 경우 복잡도 𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)을 달성한다. 여기서 s는 희소성, ρ는 고유값을 bound하는 상수, κ는 조건수이다.

ABSTRACT

Solving linear systems and computing eigenvalues are two fundamental problems in linear algebra. For solving linear systems, many efficient quantum algorithms have been discovered. For computing eigenvalues, currently, we have efficient quantum algorithms for Hermitian and unitary matrices. However, the general case is far from fully understood. Combining quantum phase estimation, quantum algorithm to solve linear differential equations and quantum singular value estimation, we propose two quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The output of the quantum algorithms is a superposition of the eigenvalues and the corresponding eigenvectors. The complexities are dominated by solving a linear system of ODEs and performing quantum singular value estimation, which usually can be solved efficiently in a quantum computer. In the special case when the matrix $M$ is $s$-sparse, the complexity is $\widetilde{O}(sρ^2 κ^2/ε^2)$ for diagonalizable matrices that only have real eigenvalues, and $\widetilde{O}(sρ\|M\|_{\max} /ε^2)$ for normal matrices. Here $ρ$ is an upper bound of the eigenvalues, $κ$ is the conditioning of the eigenvalue problem, and $ε$ is the precision to approximate the eigenvalues. We also extend the quantum algorithm to diagonalizable matrices with complex eigenvalues under an extra assumption.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 대각화 가능한 행렬의 고유값을 효율적으로 계산하는 양자 알고리즘을 개발한다. 힐베르트 행렬 및 유니터리 행렬의 경우를 초월하여 확장한다.
• 비에르미트 행렬에 대한 양자 알고리즘의 격차를 해결하며, 특히 정규가 아니지만 대각화 가능한 행렬에 초점을 맞춘다.
• 양자 고유값 분해를 고유쌍의 초위상 상태로 구현하여, 행렬의 양자 함수 평가를 가능하게 한다.
• 희소 행렬에 대해 스케일이 잘 되는 고정밀도 고유값 추정을 달성한다.
• 고유벡터 행렬의 조건수에 대한 추가 가정 하에 복소수 고유값을 가진 행렬로 결과를 확장한다.

제안 방법

• 해밀턴ian 시뮬레이션 대신 미분방정식 시뮬레이션을 사용하여 비에르미트 행렬에 적응된 양자 위상 추정(QPE) 프레임워크를 활용한다.
• 선형 미분방정식 시스템을 해결하는 양자 알고리즘을 사용하며, 미분방정식 d𝐱(t)/dt = iM𝐱(t)를 선형 시스템으로 이산화한다.
• 해당 미분방정식 시스템의 해에서 고유값 정보를 추출하기 위해 양자 특이값 추정(QSVE)을 적용한다.
• ODE 해와 위상 추정 기법을 조합하여 고유값과 고유벡터를 포함하는 양자 상태를 구축한다.
• 블록 인코딩과 희소 행렬 액세스를 사용하여 s-희소 행렬에 대해 효율적인 구현을 달성한다.
• 복소수 고유값으로의 결과 확장을 위해 고유벡터 행렬의 조건수에 대한 보조 가정을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비에르미트 행렬, 특히 힐베르트 행렬이나 유니터리 행렬이 아닌 일반 대각화 가능한 행렬의 고유값을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 e^{iMt}가 유니터리가 아닐 경우, 비에르미트 행렬에 대해 양자 위상 추정을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 양자 ODE 해결과 QSVE를 사용하여 실수 고유값을 가진 대각화 가능한 행렬의 고유값을 계산할 때의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 정규 행렬과 복소수 고유값을 가진 대각화 가능한 행렬로 확장될 수 있는가?
• RQ5 알고리즘의 스케일링은 희소성, 고유값 크기, 조건수 및 정밀도에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• s-희소이고 실수 고유값만을 가진 대각화 가능한 행렬에 대해 알고리즘은 복잡도 𝒪̃(sρ²κ²/ε²)을 달성한다. 여기서 ρ는 고유값을 bound하는 상수이고, κ는 고유값 문제의 조건수이다.
• 정규 행렬의 경우 복잡도는 𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)이며, 스펙트럼 노름에 대한 의존도가 향상됨을 보여준다.
• 알고리즘은 ∑ⱼ βⱼ |λ̃ⱼ⟩|Eⱼ⟩ 형태의 초위상 상태를 출력하며, 이때 |λⱼ - λ̃ⱼ| ≤ ε를 만족하여 고정밀도 고유값 추정이 가능하다.
• 해밀턴ian 시뮬레이션 대신 미분방정식 시뮬레이션을 사용함으로써, 비에르미트 행렬에 대한 양자 위상 추정의 일반화가 가능하다.
• 고유쌍이 초위상 상태로 알려져 있을 경우, f(M)|b⟩ = ∑ⱼ βⱼ f(λⱼ)|Eⱼ⟩를 통해 행렬의 양자 함수 평가가 가능해진다.
• 고유벡터 행렬의 조건수에 대한 추가 가정 하에, 복소수 고유값을 가진 대각화 가능한 행렬로의 결과 확장이 가능하다.