[논문 리뷰] Computing eigenvalues of matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대각화 가능한 행렬—특히 실수 고유값을 가진 행렬과 정규 행렬—의 고유값을 계산하기 위한 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 양자 위상 추정, 양자 특이값 추정, 그리고 양자 선형 시스템 해법기를 조합하여 구성되며, 행렬 크기의 다항로그 스케일링에 따라 복잡도가 증가하는 조건 하에서 고유값과 고유벡터를 포함하는 양자 상태를 출력한다. 이는 희소성과 조건수 제약 조건을 만족할 때 성립한다.

ABSTRACT

Eigenproblem arises in a large number of disciplines of sciences and engineering. Combining quantum algorithms to solve linear differential equations, quantum singular value estimation and quantum phase estimation, we propose quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices of two types: matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The quantum algorithms return a quantum state such that the first register stores eigenvalues and the second register stores the corresponding eigenvectors. For normal matrices, the complexity to obtain this quantum state is dominated by the complexity to perform quantum singular value estimation. For the other case, the complexity is determined by the solving of a linear system of differential equations. Under certain conditions (e.g. sparse), the complexities are polylog on the size $n$ of the given matrix. If we perform measurements, then we can obtain all the eigenvalues classically. If $M$ is $s$ sparse, then the complexity is $\widetilde{O}(sn\|M\|_{\max}\kappa^2/\epsilon^2)$, where $\kappa$ is the condition number of the matrix of eigenvectors.

연구 동기 및 목표

• 대각화 가능한 행렬의 고유값을 효율적으로 계산하기 위한 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 양자 선형 시스템 해법기와 위상 추정을 활용하여 양자 컴퓨팅에서 고유값 문제를 다루기 위해.
• 희소 행렬에 대해 양자 특이값 추정과 미분방정식 해법을 활용하여 낮은 계산 복잡도를 달성하기 위해.
• 결과로 생성된 양자 상태의 측정을 통해 고전적으로 모든 고유값을 추출할 수 있도록 하기 위해.
• 희소성, 조건수, 정밀도에 따라 복잡도 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 행렬의 고유벡터로부터 고유값을 추출하기 위해 양자 위상 추정을 사용한다.
• 정규 행렬의 경우, 양자 특이값 추정이 복잡도를 결정하는 주요 구성 요소이다.
• 실수 고유값을 가진 행렬의 경우, 양자 알고리즘을 사용하여 선형 미분방정식의 연립방정식을 해결하는 데 의존한다.
• 출력은 첫 번째 레지스터가 고유값을, 두 번째 레지스터가 해당 고유벡터를 인코딩하는 양자 상태이다.
• 알고리즘은 행렬이 희소하다고 가정하며, 오차와 런타임을 제어하기 위해 조건수와 최대 노름을 사용한다.
• 정밀도와 정확도는 파라미터 ε를 통해 제어되며, 복잡도는 Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²) 스케일링을 따른다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대각화 가능한 행렬의 고유값을 다항로그 스케일링으로 효율적으로 계산할 수 있는 양자 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 양자 환경에서 고유값 계산의 복잡도는 희소성과 조건수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 양자 위상 추정과 양자 특이값 추정이 행렬 고유값 문제를 해결하는 데 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 고유값과 고유벡터를 포함하는 양자 상태는 측정을 통해 고전적으로 모든 고유값을 추출할 수 있는가?
• RQ5 희소성과 유한한 조건수와 같은 현실적인 가정 하에서 제안된 알고리즘의 런타임 경계는 무엇인가?

주요 결과

• s-희소 행렬에 대해 알고리즘은 Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²)의 복잡도를 달성한다. 여기서 s는 희소성, ∥M∥max는 최대 절댓값 원소, κ는 고유벡터 행렬의 조건수, ε는 원하는 정밀도이다.
• 정규 행렬의 경우 복잡도는 주로 양자 특이값 추정에 의해 결정되며, 이는 효율적인 고유값 계산을 가능하게 한다.
• 실수 고유값을 가진 행렬의 경우 복잡도는 양자 방법을 사용하여 선형 미분방정식의 연립방정식을 해결하는 데 의해 결정된다.
• 출력은 첫 번째 레지스터에 고유값이, 두 번째 레지스터에 해당 고유벡터가 인코딩된 양자 상태이다.
• 출력 상태의 측정를 통해 고전적으로 모든 고유값을 회수할 수 있다.
• 제시된 가정 하에서 매트릭스 크기 n에 대해 복잡도가 다항로그 스케일링되며, 이는 희소 행렬에 대해 고전적 방법에 비해 상당한 속도 향상을 나타낸다.