[논문 리뷰] Computing Flowpipe of Nonlinear Hybrid Systems with Numerical Methods

Olivier Bouissou, Alexandre Chapoutot외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 10.

Real-time simulation and control systems참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유효한 수치적 통합과 이산 이벤트 탐지에 위한 새로운 보장된 다항식 보간법을 사용하여 비선형 하이브리드 시스템의 흐름파이프에 대해 보장된 초과근사치를 계산하는 도구인 HySon을 제안한다. 이 방법은 복잡한 비선형 시스템의 정확하고 효율적인 도달 가능성 분석을 가능하게 하며, 여러 벤치마크에서 기존 도구인 Flow*와 SpaceEx를 능가한다.

ABSTRACT

Modern control-command systems often include controllers that perform nonlinear computations to control a physical system, which can typically be described by an hybrid automaton containing high-dimensional systems of nonlinear differential equations. To prove safety of such systems, one must compute all the reachable sets from a given initial position, which might be uncertain (its value is not precisely known). On linear hybrid systems, efficient and precise techniques exist, but they fail to handle nonlinear flows or jump conditions. In this article, we present a new tool name HySon which computes the flowpipes of both linear and nonlinear hybrid systems using guaranteed generalization of classical efficient numerical simulation methods, including with variable integration step-size. In particular, we present an algorithm for detecting discrete events based on guaranteed interpolation polynomials that turns out to be both precise and efficient. Illustrations of the techniques developed in this article are given on representative examples.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 연속 동역학과 비선형 점프 조건을 가진 비선형 하이브리드 시스템에 대해 효율적이고 정밀한 도달 가능성 분석 기법의 부족을 해결하기 위해.
• 강성, 고차원 또는 혼돈 시스템에서 실패하는 선형화 기반 접근법의 한계를 극복하기 위해.
• 모델 단순화 없이 선형 및 비선형 동역학을 모두 지원하는 일반 목적의 도구를 개발하기 위해.
• 비선형 제어기와 물리 모델을 포함하는 산업용 제어-명령 시스템의 안전한 검증을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 집합 표현을 위해 선형형태를 사용하는 가변 스텝 크기의 보장된 명시적 룬게-쿠타 적분을 사용하여 연속 궤적을 초과근사한다.
• 헤르미트-비르코프 보간 기반의 새로운 보장된 다항식 보간법을 적용하여 제로 크로싱 이벤트(이산 점프)를 고정밀도로 탐지한다.
• 교차 연산의 비용을 피하기 위해 점프 시점의 날카운데르를 확보하기 위해 이분법 기반 알고리즘을 적용한다.
• 정밀도를 유지하면서도 효율적인 산술 연산과 초과근사가 가능한 선형형태를 상태 집합 표현에 사용한다.
• 각 적분 단계에서 조건을 점검함으로써 시뮬레이션 루프 내부에 불변식과 가드 탐지를 통합한다.
• 선형 또는 다각형 형태에 국한된 이전 방법과는 달리, 다항식 및 비다항식 동역학과 가드를 모두 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형형태를 사용한 보장된 수치적 통합이 비선형 하이브리드 시스템에 대해 정밀하고 효율적인 흐름파이프 계산을 가능하게 하는가?
• RQ2 보장된 다항식 보간법이 비선형 시스템에서 이산 점프를 탐지하는 데 있어 표준 교차 기반 기법을 능가하는가?
• RQ3 HySon의 성능와 정밀도는 대표적인 비선형 하이브리드 시스템에서 기존 도구인 Flow*와 SpaceEx와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 선형화나 모델 단순화 없이도 복잡하거나 혼돈적, 강성 있는 동역학을 처리할 수 있는가?
• RQ5 동시 다수의 제로 크로싱 이벤트와 분리된 시스템 행동을 지원하는 데에 이 방법을 확장하는 것이 가능한가?

주요 결과

• HySon은 모든 테스트 벤치마크에서 Flow*를 능가하며, WaterTank의 경우 4.35초에서 26.75초의 계산 시간을 기록했고, Flow*는 각각 316.72초와 119.94초였다.
• 로렌츠 시스템에서 HySon은 고정 스텝 크기 0.02로 높은 정밀도를 달성했지만, 세밀한 해상도가 필요하여 계산 시간이 증가했다.
• 브루셀레이터와 반-더-폴 시스템에서 HySon은 각각 14.3초와 16.2초 내로 도달 가능성 분석을 완료했으며, Flow*의 49.97초와 49.17초보다 훨씬 빠르게 처리했다.
• 충격 구슬과 같은 혼돈 시스템에 대해서도 흐름파이프를 성공적으로 계산하여, 매우 비선형적이고 민감한 동역학에서도 강건함을 입증했다.
• Flow*가 테일러 모델과 다각형 가드에 의존하여 실패하는 경우(예: 원형 점프 조건이 있는 월프그램 예제)에도 HySon은 비다항식 가드와 동역학을 처리할 수 있었다.
• 선형 벤치마크에서 HySon은 SpaceEx와 유사한 정밀도를 달성하여, 선형 시스템에 대해서도 효과적인 것을 입증했다.