[논문 리뷰] Computing Igusa class polynomials via the Chinese Remainder Theorem

Kirsten Eisentraeger, Kristin Lauter|arXiv (Cornell University)|2004. 05. 15.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 종수 2 곡선에 대해 이gua 클래스 다항식을 계산하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 중국인법정리(CRT)를 이용하여, 주어진 수의 점을 가진 애자일리안의 다항식을 효율적으로 구성할 수 있도록 한다. 작은 소수 모듈로에서 클래스 다항식을 계산하고, 이를 중국인법정리로 재구성함으로써, 전통적인 CM 방법의 대안을 제공한다. 특히, 원시 CM 유형을 가진 4차 CM 체에 대해 유용하며, 일반 종수 2 애자일리안의 엔도모르피즘 링을 결정하는 알고리즘도 포함한다.

ABSTRACT

We present a new method for constructing genus 2 curves over a finite field with a given number of points on its Jacobian. This method has important applications in cryptography, where groups of prime order are used as the basis for discrete-log based cryptosystems. Our algorithm provides an alternative to the traditional CM method for constructing genus 2 curves. For a quartic CM field K with primitive CM type, we compute the Igusa class polynomials modulo p for certain small primes p and then use the Chinese remainder theorem (CRT) and a bound on the denominators to construct the class polynomials. We also provide an algorithm for determining endomorphism rings of ordinary Jacobians of genus 2 curves over finite fields, generalizing the work of Kohel for elliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 주어진 애자일리안의 점의 수를 가진 종수 2 곡선을 구성하기 위한 전통적 CM 방법의 대안을 개발하는 것.
• 원시 CM 유형을 가진 4차 CM 체에 대해 작은 소수 모듈로에서 이gua 클래스 다항식을 계산하는 것.
• 소수 모듈로에서의 축소된 다항식들을 중국인법정리와 함께 사용하여 전체 이gua 클래스 다항식을 재구성하는 것.
• 타원 곡선의 엔도모르피즘 링 알고리즘인 코헬의 방법을 일반 종수 2 곡선의 일반 애자일리안으로 일반화하는 것.
• 종수 2 애자일리안에서 유도된 소수 순서의 군을 필요로 하는 암호학적 응용을 지원하는 것.

제안 방법

• 주어진 원시 CM 유형을 가진 4차 CM 체 K에 대해, 작은 소수 p 모듈로에서 이gua 클래스 다항식을 계산한다.
• 다양한 작은 소수 모듈로에서의 축소된 다항식들을 사용하여 중국인법정리(CRT)를 적용해 전체 이gua 클래스 다항식을 재구성한다.
• 분모에 대한 경계를 사용하여 정수 위에서 정확한 재구성을 보장한다.
• 이gua 클래스 불변량의 구조와 그들이 클래스군의 작용 하에서 가지는 모듈러 성질을 활용한다.
• 타원 곡선의 CM 방법에서 유도된 기법들을 종수 2로 확장하여, 더 복잡한 이gua 클래스 다항식 설정에 적합하게 조정한다.
• 유한체 위의 일반 종수 2 곡선의 애자일리안의 엔도모르피즘 링을 결정하는 알고리즘을 통합한다. 이는 코헬의 접근을 일반화한 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모듈로 산술과 중국인법정리를 이용하여 종수 2 곡선의 이gua 클래스 다항식을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 CRT를 통한 정확한 이gua 클래스 다항식 재구성에 필요한 분모의 경계는 무엇이며, 이것이 충분한가?
• RQ3 CRT 기반 접근법이 특정 수의 점을 가진 종수 2 곡선을 구성하는 데 있어 기존의 CM 방법보다 성능이 뛰어나거나 보완할 수 있는가?
• RQ4 타원 곡선의 결과를 일반화하여 일반 종수 2 애자일리안의 엔도모르피즘 링을 알고리즘적으로 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 소수 또는 근처 소수 순서의 군을 필요로 하는 암호학적 응용에서 어떤 계산적 이점을 제공하는가?

주요 결과

• 이 방법은 작은 소수 모듈로에서의 축소와 중국인법정리를 통한 재구성으로 종수 2 곡선의 이gua 클래스 다항식을 성공적으로 계산한다.
• 분모의 경계를 사용함으로써 재구성된 다항식이 정수 위에서 정확하게 유지되며, 정밀도 문제를 피할 수 있다.
• 이 알고리즘은 주어진 애자일리안의 점의 수를 가진 종수 2 곡선을 구성하는 데 있어 전통적 CM 방법의 실질적인 대안을 제공한다.
• 이 방법은 코헬의 타원 곡선 엔도모르피즘 링 알고리즘의 일반화로서, 일반 종수 2 애자일리안의 엔도모르피즘 링을 결정하는 데 기여한다.
• 이 방법은 특히 원시 CM 유형을 가진 4차 CM 체에 대해 매우 효과적이며, 이 경우 이gua 클래스 다항식은 곡선 구성의 핵심이 된다.
• 이 프레임워크는 종수 2 애자일리안의 군 순서가 소수 또는 근처 소수 순서가 되도록 하는 데 기여함으로써 암호학적 응용을 지원한다.