[논문 리뷰] Computing local multipoint correlators using the numerical renormalization group

Seung‐Sup B. Lee, Fabian B. Kugler외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 03.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 106인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 양자 이점 모형에서 국소 3점 및 4점 상관함수를 모든 주파수 및 온도 영역에서 높은 정확도로 계산하기 위한 수치적 리노멀화 군(NRG) 방법을 제시한다. 부분 스펙트럼 함수(PSFs)와 형식에 특화된 커널을 사용한 반복적 콘볼루션을 도입함으로써, 이론적 접근법 없이도 실주파수 영역에서 연결된 상관함수와 RIXS 스펙트럼을 계산할 수 있으며, 콘도 효과 및 앤더슨 수직성과 같은 효과를 포함한다.

ABSTRACT

Local three- and four-point correlators yield important insight into strongly correlated systems and have many applications. However, the nonperturbative, accurate computation of multipoint correlators is challenging, particularly in the real-frequency domain for systems at low temperatures. In the accompanying paper, we introduce generalized spectral representations for multipoint correlators. Here, we develop a numerical renormalization group (NRG) approach, capable of efficiently evaluating these spectral representations, to compute local three- and four-point correlators of quantum impurity models. The key objects in our scheme are partial spectral functions, encoding the system's dynamical information. Their computation via NRG allows us to simultaneously resolve various multiparticle excitations down to the lowest energies. By subsequently convolving the partial spectral functions with appropriate kernels, we obtain multipoint correlators in the imaginary-frequency Matsubara, the real-frequency zero-temperature, and the real-frequency Keldysh formalisms. We present exemplary results for the connected four-point correlators of the Anderson impurity model, and for resonant inelastic x-ray scattering (RIXS) spectra of related impurity models. Our method can treat temperatures and frequencies -- imaginary or real -- of all magnitudes, from large to arbitrarily small ones.

연구 동기 및 목표

• 강한 상관관계를 가진 양자 이점 모형에서 국소 다중점 상관함수를 비섭동적이고 수치적으로 정확하게 계산하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 표준 해법(예: QMC 및 ED)으로는 어려운 실주파수, 저온 영역의 3점 및 4점 함수 계산 문제를 해결하는 것.
• 전체 밀도 행렬 NRG 접근법을 일반화하여 ℓ점 상관함수를 다룰 수 있도록 부분 스펙트럼 함수(PSFs)의 반복적 계산을 도입하는 것.
• Matsubara, 영온도 실주파수, 유한온도 Keldysh 형식 등 다양한 형식에서 연결된 상관함수 및 점근 함수를 정확하게 계산할 수 있도록 하는 것.
• 이 방법을 사용하여 공진형 비탄성 X선 산란(RIXS) 스펙트럼을 계산하고, 콘도 효과 및 앤더슨 수직성과 같은 강한 상관관계 효과를 포괄하는 것.

제안 방법

• 시스템에 특화된 일반화된 Lehmann 표현으로서의 부분 스펙트럼 함수(PSFs)를 도입하여 many-body 스펙트럼 정보를 포함한다.
• 전체 밀도 행렬(fdM) NRG 프레임워크를 확장하여, 더 낮은 차수의 PSFs를 빌딩 블록으로 사용해 3점 및 4점 함수의 PSFs를 반복적으로 계산한다.
• 다양한 주파수 척도 |ωi| ≪ |ωj|를 포함한 영역을 해결하기 위해 반복적 방법을 개발하여 모든 에너지 척도에서 높은 해상도를 확보한다.
• Matsubara, 영온도 실주파수, Keldysh 형식에 맞는 형식에 특화된 커널을 사용해 PSFs를 콘볼루션하여 전체 상관함수를 도출한다.
• 실주파수 상관함수의 경우, NRG 흐름에서의 이산화 효과를 보완하기 위해 PSFs를 수치적으로 넓힌다.
• 4점 상관함수의 연결된 부분은 비연결 기여를 빼내어 추출하며, 수치 정확도를 향상시키기 위한 전략을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 임의의 저온 영역에서 실주파수 영역에서 국소 3점 및 4점 상관함수를 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ2 NRG 방법을 2점 함수를 초월하는 다중점 상관함수를 저에너지 영역에서 지수적 해상도로 계산할 수 있도록 일반화할 수 있는가?
• RQ3 강한 상관관계 효과인 콘도 효과 및 앤더슨 수직성이 공진형 비탄성 X선 산란(RIXS) 스펙트럼에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 부분 스펙트럼 함수(PSFs)는 다중점 상관함수에 대한 통합적이고 형식에 종속되지 않는 프레임워크를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 방법은 다양한 형식과 상호작용 영역에서 분석적, 섭동적, QMC 기준 결과를 어느 정도 정확하게 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 앤더슨 이점 모형의 연결된 4점 상관함수를 성공적으로 계산하여 약한 결합 영역에서 섭동 결과와 뛰어난 일치를 보였다.
• 콘도 영역에서는 영온도 4점 점근 함수의 거듭제곱 법칙 행동을 정확히 포착하여 X선 흡수 이론의 분석적 예측과 일치하였다.
• 중간 온도에서 앤더슨 이점 모형의 Matsubara 주파수 4점 점환수를 QMC 결과와 재현하였다.
• 무한대 U 한계에서, 허버드 원자에 대한 정확한 Keldysh 4점 점환수를 재현하여 강상관관계 영역에서의 정확도를 검증하였다.
• 마한 이점 모형과 확장된 앤더슨 모형에 대해 계산한 RIXS 스펙트럼은 각각 앤더슨 수직성과 콘도 스크리닝의 명확한 서명을 보였다.
• 이 방법은 콘도 척도 이하의 온도 및 주파수 해상도를 확보하여 강상관관계 시스템의 저에너지 동역학에 접근할 수 있게 하였다.