[논문 리뷰] Computing persistent homology of directed flag complexes

Daniel Luetgehetmann, Dejan Govc외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 25.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대규모 유한 방향 그래프에서 유도된 방향 플래그 복합체의 지속 호몰로지 계산을 위한 고성능 소프트웨어 패키지인 Flagser를 소개한다. Ripser 기반으로 구축되고 확장성 최적화된 Flagser는 방향 플래그 복합체의 효율적 구성과 지속 호몰로지 계산을 가능하게 하며, 사용자 정의 필터링, 근사 호몰로지, 홀수 특성 계수를 지원한다. 이는 1,000만 개의 뉴런을 포함하는 뇌 미세회로 모델을 타당한 시간과 메모리로 처리함으로써 입증되었다.

ABSTRACT

We present a new computing package Flagser, designed to construct the directed flag complex of a finite directed graph, and compute persistent homology for flexibly defined filtrations on the graph and the resulting complex. The persistent homology computation part of Flagser is based on the program Ripser [Bau18a], but is optimized specifically for large computations. The construction of the directed flag complex is done in a way that allows easy parallelization by arbitrarily many cores. Flagser also has the option of working with undirected graphs. For homology computations Flagser has an Approximate option, which shortens compute time with remarkable accuracy. We demonstrate the power of Flagser by applying it to the construction of the directed flag complex of digital reconstructions of brain microcircuitry by the Blue Brain Project and several other examples. In some instances we perform computation of homology. For a more complete performance analysis, we also apply Flagser to some other data collections. In all cases the hardware used in the computation, the use of memory and the compute time are recorded.

연구 동기 및 목표

• 신경과학에서 재구성된 대규모 방향 그래프, 예를 들어 뇌 미세회로와 같은 데이터를 분석할 때 기존에 메모리 및 시간 제약으로 인해 지속 호몰로지 계산이 불가능했던 계산적 병목 현상을 해결한다.
• 대규모 방향 그래프의 인접 행렬에서 방향 플래그 복합체를 효율적이고 병렬적으로 구성할 수 있는 소프트웨어 도구를 개발한다.
• 다양한 토폴로지 데이터 분석 워크플로우를 지원하기 위해 그래프 및 유도된 복합체에 대한 민첩한 필터링 전략을 제공한다.
• 지속 호몰로지 계산을 근사화하는 모드를 도입하여 런타임을 극적으로 단축시키면서도 높은 정확도를 유지한다.
• 일반적인 Z/2Z 계수 외에도 홀수 특성의 체에서의 호몰로지 계산을 지원하여 보다 광범위한 토폴로지 분석 응용 가능성을 확장한다.

제안 방법

• 사용자 정의 필터링을 허용하는 정점 및 간선 가중치 기반 필터링 전략을 사용하여 유한 방향 그래프에서 방향 플래그 복합체를 구성한다.
• 감소 및 코바운더리 계산 알고리즘을 수정하여 Ripser 기반 지속 호몰로지 파이프라인의 대규모 데이터셋 처리 성능을 최적화한다.
• CPU 코어의 임의의 수를 사용하여 병렬화된 플래그 복합체 구성 기능을 구현하여 확장성 향상을 도모한다.
• 사용자 정의 오차 허용 범위 내에서 베티 수 및 지속 호몰로지를 근사 계산하는 기능을 통합한다.
• 일반적인 Z/2Z 계수 외에도 홀수 소수 체에서의 호몰로지 계산을 지원하여 적용 범위를 넓힌다.
• 특수 목적을 위한 다양한 변형(예: Flagser-count, Deltser, Tournser)을 포함하는 모듈러 소프트웨어 스택을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 뇌 미세회로 재구성에서 유도된 방향 플래그 복합체에 대해 지속 호몰로지가 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 수백만 개의 정점과 간선을 포함하는 매우 큰 방향 그래프를 처리할 때 Flagser의 성능은 기존 도구와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 근사 호몰로지 계산은 큰 토폴로지 복합체에서 런타임을 얼마나 줄일 수 있으며, 정확도는 유지되는가?
• RQ4 필터링의 유연성은 신경 회로와 같은 복잡한 네트워크 구조 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Flagser는 대규모 신경망 모델에서 유도되는 매우 고차원의 단체 복합체를 처리할 수 있는가?

주요 결과

• Flagser는 랩톱에서 고양이 피어 cortical 컬럼(30,000개 정점, 800만 개 간선)의 방향 플래그 복합체를 30초 이내로 구성했으며, 이는 이전에는 HPC에서 수일이 걸렸던 작업이다.
• 95% 정확도의 호몰로지 근사화로 인해 동일한 고양이 피어 모델에 대해 HPC 클러스터에서 런타임을 수일에서 몇 시간으로 단축시켰다.
• 완전한 쥐 케이스의 PL 영역(64,000개 뉴런, 1,750만 개 국소 연결)을 처리했으며, 1조 1,000만 개의 11차원 단체 복합체를 포함한 복합체를 다루어 고차원 복합체에 대한 확장성을 입증했다.
• 256개 CPU를 사용하여 170만 개 정점, 110억 개 간선을 포함하는 체감 피부 감각 피질 모델을 5일간 계산했으며, 1GB 메모리 사용과 함께 24시간짜리 10개의 작업으로 완료했다.
• 256개 코어에서 작동하는 Flagser의 변형 버전이 유튜브, 페이스북, 텍사스/캘리포니아 도로 네트워크 등 네 가지 대규모 실세계 네트워크를 처리했으며, 런타임은 3~48분, 메모리 사용량은 41GB 이하였다.
• 튜너플렉스 변형(Tournser)은 방향 그래프 내 토너먼트의 지속 호몰로지를 성공적으로 계산했으며, 자연스러운 필터링을 지원하고 다른 필터링 체계로도 확장 가능하다.