[논문 리뷰] Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions

Mohab Safey El Din, Lihong Zhi|ArXiv.org|2009. 10. 15.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수 다항부등식으로 정의된 볼록 준대수집합 내의 유리점들을 다항시간에 계산하는 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘의 비트 복잡도는 $\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$로 유계이며, 여기서 $\sigma$는 계수의 비트 길이이고 $D$는 최대 차수이다. 이 알고리즘을 이용해 $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$에서 유리다항식이 제곱합(SOS)인지 여부를 결정할 수 있으며, 존재할 경우 유리 SOS 분해를 제공한다. 이때 분해에 사용되는 계수의 비트 길이는 $\tau D^{O(k^3)}$ 이하이며, 이는 $\tau$-비트 계수를 가진 차수 $2d$의 다항식에 대해 성립한다.

ABSTRACT

Let ${\cal P}=\{h_1, ..., h_s\}\subset \Z[Y_1, ..., Y_k]$, $D\geq °(h_i)$ for $1\leq i \leq s$, $σ$ bounding the bit length of the coefficients of the $h_i$'s, and $Φ$ be a quantifier-free ${\cal P}$-formula defining a convex semi-algebraic set. We design an algorithm returning a rational point in ${\cal S}$ if and only if ${\cal S}\cap \Q eq\emptyset$. It requires $σ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations. If a rational point is outputted its coordinates have bit length dominated by $σD^{\bigO(k^3)}$. Using this result, we obtain a procedure deciding if a polynomial $f\in \Z[X_1, >..., X_n]$ is a sum of squares of polynomials in $\Q[X_1, ..., X_n]$. Denote by $d$ the degree of $f$, $τ$ the maximum bit length of the coefficients in $f$, $D={{n+d}\choose{n}}$ and $k\leq D(D+1)-{{n+2d}\choose{n}}$. This procedure requires $τ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations and the coefficients of the outputted polynomials have bit length dominated by $τD^{\bigO(k^3)}$.

연구 동기 및 목표

• 정수 계수 다항부등식으로 정의된 볼록 준대수집합 내에 유리점이 존재하는지 결정하는 알고리즘을 설계하는 것.
• 유리점이 존재할 경우, 좌표의 비트 길이가 유계인 유리점을 계산하는 것.
• 이 알고리즘을 이용해 유리다항식이 유리다항식의 제곱합인지 여부를 판단하는 문제에 적용하는 것.
• 유리점 계산 및 SOS 분해 절차의 복잡도 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 Basu 등(1996)의 방법을 활용해 실수 위에서의 기호 제거 절차를 통해 준대수집합을 기호 없는 형태로 변환한다.
• 유리점 존재성 문제를 정수 계수를 가진 비엄격 다항부등식의 연립방정식으로 축소한다.
• SOS 조건을 계수에 대한 정반비례 행렬 제약 조건으로 표현함으로써, 준지그램 프로그래밍의 이중성 원리를 활용한다.
• 해의 집합에 대한 유리 매개변수화를 사용하고, 일변수 다항식의 실근들의 평균을 통해 실근이 모두 존재할 경우 유리점을 도출한다.
• 정의 부등식의 해의 다양체 내의 대칭성과 대수적 구조를 활용하여 유리점을 계산한다.
• 비트 복잡도 분석은 $D$, $k$, $\sigma$에 따라 중간 계수의 크기와 산술 연산의 수를 유계로 제한함으로써 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 계수 다항부등식으로 정의된 볼록 준대수집합 내에 유리점이 존재할 수 있으며, 만약 존재한다면 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 다항식의 차수와 계수 크기에 대한 유계 조건이 주어졌을 때, 이러한 집합 내의 유리점 계산의 비트 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 유리다항식에 대해 유리다항식의 제곱합 분해가 존재하는지 알고리즘적으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 유리 SOS 분해가 존재할 경우, 그 계산의 비트 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 실수 SOS 분해의 존재성이 유리 SOS 분해의 존재성을 유도하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 알고리즘은 볼록 준대수집합 내의 유리점 존재성을 $\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$ 비트 연산 내에서 결정한다. 여기서 $\sigma$는 계수의 비트 길이를 유계로, $D$는 다항식의 최대 차수이다.
• 유리점이 존재할 경우, 그 좌표의 비트 길이는 최대 $\sigma D^{O(k^3)}$ 이하이다.
• 유리다항식 $f$가 차수 $2d$일 경우, 이 알고리즘은 $\tau^{O(1)}D^{O(k^3)}$ 비트 연산 내에서 $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$에서 $f$가 제곱합인지 여부를 결정할 수 있다. 여기서 $\tau$는 $f$의 계수의 비트 길이를 유계로 한다.
• 만약 $f$가 유리 SOS라면, 분해에 사용된 유리다항식의 계수는 비트 길이가 최대 $\tau D^{O(k^3)}$ 이하이다.
• 기존 접근 방식에 비해 상당한 향상이 이루어졌으며, 특히 해의 다양체가 실근만을 가지는 조건 하에 RationalTotalRealSolve 함수의 복잡도는 $\tau^{O(1)}D^{O(k)}$로 감소한다.
• 논문은 다항식이 실수 SOS 분해를 가지며 해의 다양체가 실근을 가진다면, 유리 SOS 분해가 존재하고 효율적으로 계산 가능하다는 것을 증명한다.