[논문 리뷰] Computing solutions of Schrödinger equations on unbounded domains- On the brink of numerical algorithms

Simon Becker, Anders C. Hansen|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 30.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 70인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유계가 아닌 영역에서의 계산 가능한 선형 및 비선형 슈뢰딩거 방정식을 Solvability Complexity Index (SCI) 계층 구조를 통해 기초적인 분류를 수립한다. 많은 클래스—특히 비집중형 및 이산 NLS—의 해는 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 계산 가능하지만, 집중형 NLS 및 일부 선형 문제의 해는 폭발 탐지의 결정 불가능성으로 인해 본질적으로 계산 불가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We address the open problem of determining which classes of time-dependent linear Schrödinger equations and focusing and defocusing cubic and quintic non-linear Schrödinger equations (NLS) on unbounded domains that can be computed by an algorithm. We demonstrate how such an algorithm in general does not exist, yielding a substantial classification theory of which problems in quantum mechanics that can be computed. Moreover, we establish classifications on which problems that can be computed with a uniform bound on the runtime, as a function of the desired $ε$-accuracy of the approximation. This include linear and nonlinear Schrödinger equations for which we provide positive and negative results and conditions on both the initial state and the potentials such that there exist computational (recursive) a priori bounds that allow reduction of the IVP on an unbounded domain to an IVP on a bounded domain, yielding an algorithm that can produce an $ε$-approximation. In addition, we show how no algorithm can decide, and in fact not verify nor falsify, if the focusing NLS will blow up in finite time or not, yet, for the defocusing NLS, solutions can be computed given mild assumptions on the initial state and the potentials. Finally, we show that solutions to discrete NLS equations (focusing and defocusing) on an unbounded domain can always be computed with uniform bounds on the runtime of the algorithm. The algorithms presented are not just of theoretical interest, but efficient and easy to implement in applications. Our results have implications beyond computational quantum mechanics and are a part of the Solvability Complexity Index (SCI) hierarchy and Smale's program on the foundations of computational mathematics. For example our results provide classifications of which mathematical problems may be solved by computer assisted proofs.

연구 동기 및 목표

• 비유계 영역에서의 시간에 의존하는 선형 및 비선형 슈뢰딩거 방정식의 어떤 클래스가 알고리즘에 의해 계산될 수 있는지 결정하기.
• 희망 정확도 $\epsilon$ 에 대한 균일한 실행 시간 상한을 갖는 알고리즘을 허용하는 문제를 분류하기.
• 초기 상태와 포텐셜이 비유계 영역 문제를 균일한 $\epsilon$-정확도로 유계 영역 문제로 축소할 수 있도록 보장하는 조건을 설정하기.
• 집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 유한 시간 내 폭발이 발생할지 여부의 결정 가능성 조사하기.
• SCI 계층 구조를 양자역학적 PDE에 적용하여 스말레의 프로그램을 확장함으로써 계산 기초를 확립하기.

제안 방법

• 유계 입방체 $ \mathcal{C}_R $ 상에서의 해가 $ \mathbb{R}^d $ 상의 진짜 해와 $ \epsilon $ 이내의 $ L^2 $-노름으로 근사가 되도록 보장하는 $ R > 0 $ 을 계산하는 재귀적 알고리즘 제안.
• 초기 자료에 대한 소볼레프 및 일반화된 소볼레프 노름 상한과 포텐셜의 약한 성장 조건을 적용하여 계산 가능성 보장.
• 모든 $ \epsilon $-정확도를 위한 매개변수들이 $ \epsilon $ 에 따라 재귀적으로 결정되는 유계 영역 $ \mathcal{C}_R $ 상에서의 이산화 기법 적용.
• 비연속적인 초기 상태와 거친 포텐셜을 다루기 위해 전역 기저 근사와 매끄럽게 다듬는 기법 사용.
• 슈뢰딩거 방정식을 해결하는 데 있어 계산 복잡도를 분류하기 위해 SCI 계층 구조를 적용하여 계산 가능한 클래스와 계산 불가능한 클래스를 구분.
• 비유계 영역에서의 이산 NLS가 집중형 여부에 관계없이 항상 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 계산 가능하다는 것을 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일한 실행 시간으로 $ \epsilon $-정확도를 갖는 알고리즘이 비유계 영역에서의 선형 슈뢰딩거 방정식 해를 계산할 수 있는가?
• RQ2 집중형 세제곱 또는 오목한 NLS의 해가 유한 시간 내에 폭발할지 여부는 결정 가능하며, 이러한 결정은 수치적으로 검증 가능한가?
• RQ3 초기 자료와 포텐셜에 어떤 조건이 성립할 경우, $ \mathbb{R}^d $ 상의 초기값 문제를 보장된 $ \epsilon $-정확도로 유계 영역 문제로 축소할 수 있는가?
• RQ4 초기 상태와 포텐셜에 대한 온건한 가정 하에서 비집중형 NLS의 해는 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 계산 가능한가?
• RQ5 비유계 영역에서의 이산 NLS 방정식 해는 집중형 또는 비집중형 여부에 관계없이 항상 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 계산 가능한가?

주요 결과

• 초기 자료의 매끄럽고 계산 가능한 가정이 있더라도, 비유계 영역에서의 많은 선형 및 비선형 슈뢰딩거 방정식 클래스에 대해 해를 계산하는 알고리즘이 존재하지 않는다.
• 집중형 NLS의 해가 폭발할지 여부는 수치적으로 결정할 수 없으며, 이 문제는 결정 불가능하다.
• 비집중형 NLS의 경우, 초기 상태와 포텐셜에 대한 온건한 가정 하에서 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 해를 계산할 수 있다.
• 비유계 영역에서의 이산 NLS 해는 집중형 또는 비집중형 여부에 관계없이 항상 균일한 실행 시간 상한을 가진 채로 계산 가능하다.
• 논문은 SCI 계층 구조를 기반으로 계산 가능한 슈뢰딩거 방정식의 완전한 분류 이론을 수립하여, 노름이 폭발하는 경우에도 해를 계산할 수 있는 놀라운 사례를 드러냈다.
• 논문은 효율적이고 구현 가능한 구조적 알고리즘을 제공하여, 비유계 문제를 균일한 자르기 반경 $ R $ 의 재귀적 계산을 통해 유계 문제로 환원한다.