[논문 리뷰] Computing the metric dimension of a graph from primary subgraphs

Dorota Kuziak, Juan A. Rodríguez‐Velázquez외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 03.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 주로 컷 정점이 있는 그래프, 특히 점 부착을 통해 구성된 기본 하위그래프들로부터 생성된 그래프의 거리 차원을 계산하는 방법을 제시한다. 이는 거리 차원의 닫힌 공식을 도출함으로써 루트 곱 그래프, 코로나 곱 그래프, 블록 그래프 및 체인 그래프와 같은 그래프 유형에 대해 분석을 통해 부착 정점과 기본 하위그래프의 거리 기반의 역할을 고려한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph. Given an ordered set $W = \{w_1, w_2,\dots w_k\}\subseteq V(G)$ and a vertex $u\in V(G)$, the representation of $u$ with respect to $W$ is the ordered $k$-tuple $(d(u,w_1), d(u,w_2),\dots,$ $d(u,w_k))$, where $d(u,w_i)$ denotes the distance between $u$ and $w_i$. The set $W$ is a metric generator for $G$ if every two different vertices of $G$ have distinct representations. A minimum cardinality metric generator is called a \emph{metric basis} of $G$ and its cardinality is called the \emph{metric dimension} of G. It is well known that the problem of finding the metric dimension of a graph is NP-Hard. In this paper we obtain closed formulae for the metric dimension of graphs with cut vertices. The main results are applied to specific constructions including rooted product graphs, corona product graphs, block graphs and chains of graphs.

연구 동기 및 목표

• 기본 하위그래프들을 점 부착하여 구성된 그래프의 거리 차원을 계산하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 거리 차원 계산의 NP-난이도 문제를 더 단순한 하위그래프 문제로 축소하여 해결하기 위해.
• 루트 곱, 코로나 곱, 블록, 체인 그래프와 같은 특수 그래프 가족에 대해 거리 차원의 닫힌 공식을 제공하기 위해.
• 합 그래프 $K_1 + H$의 보편 정점이 거리 기반에 속할 조건을 명확히 하여 이전 결과를 수정하기 위해.

제안 방법

• 서로소 연결된 기본 하위그래프 $G_1, \dots, G_k$로부터 점 부착을 통해 구성된 그래프 $G$를 정의하며, 하위그래프 간에 정점이 식별된다.
• 부착 정점 $A(G)$의 개념을 도입하고, $G_i$의 거리 차원을 그 부착 정점에 따라 조정한 $\dim^*(G_i)$를 정의한다.
• 내부 하위그래프에서 직경 부착 정점이 있는 체인 그래프의 경우, $\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$임을 증명한다.
• $K_1 + H$의 구조를 활용하여 보편 정점이 거리 기반에 속할 조건을 유도함으로써 $\dim(G \odot H)$에 대한 수정된 공식을 도출한다.
• 프레임워크를 적용하여 코로나 곱 그래프 $G \odot H$에 대한 닫힌 공식을 유도하며, $K_1$ 정점이 $K_1 + H$의 거리 기반에 포함되는지 여부에 따라 경우를 나눈다.
• 반지름과 최대 차수의 성질을 활용하여 $K_1 + H$의 어떤 거리 기반에도 포함되지 않을 충분한 조건(예: $r(H) \geq 4$)을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컷 정점이 있는 그래프의 거리 차원은 그 기본 하위그래프들로부터 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 $K_1 + H$의 보편 정점이 거리 기반에 속할 조건은 무엇인가?
• RQ3 코로나 곱 그래프 $G \odot H$의 정확한 거리 차원은 무엇인가?
• RQ4 그래프 체인의 거리 차원은 그 구성 하위그래프들의 거리 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 루트 곱 그래프와 블록 그래프의 거리 차원은 그 기본 하위그래프에 기반한 닫힌 공식으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 직경 부착 정점이 $G_i$의 내부 하위그래프에서 $i = 2, \dots, k-1$에 존재하는 체인 그래프 $G$의 경우, 거리 차원은 $\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$이다.
• 순서가 $n \geq 2$인 그래프 $G$에 대해 코로나 곱 $G \odot H$의 경우, $K_1$ 정점이 $K_1 + H$의 거리 기반에 포함되어 있으면 $\dim(G \odot H) = n \cdot (\dim(K_1 + H) - 1)$이고, 그렇지 않으면 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$이다.
• 만약 $H$의 반지름이 $r(H) \geq 4$ 또는 $\dim(K_1 + H) > \Delta(H) + 1$를 만족하면, $K_1$ 정점은 $K_1 + H$의 어떤 거리 기반에도 포함되지 않으며, 따라서 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$이다.
• 그림 6의 그래프 $H$에 대해 $\dim(K_1 + H) = 3$이며, $K_1$ 정점이 거리 기반에 포함되어 있으므로 $\dim(G \odot H) = 2n$이다.
• 이 결과는 [14]의 정리 1을 수정한다. 이전 논문은 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$를 조건 없이 주장했지만, 이는 잘못된 것이다.
• 예를 들어 $G_1 \cong K_{1,4}$, $G_2 \cong C_4$, $G_3 \cong K_3$, $G_4 \cong K_3$인 체인 그래프의 경우, 거리 차원은 $\dim(G) = 4$이며, 이는 $\dim^*(G_1) + \dim^*(G_2) + \dim^*(G_3) + \dim^*(G_4) = 2 + 1 + 0 + 1$로 계산된다.